Menelusuri Bilangan bentuk $$a^2 + b^2 - D.c^2$$

         Masalah ini kami munculkan ketika kami tertarik dengan ide yang dimainkan Pembuat Soal OSN SMP 2024 (yang mungkin bukan ini maksudnya) . Ide ini bermain pada wilayah : 

        "Berapakah banyak pasangan bilangan asli \((a, b) \le 100\) sehingga menjadikan \((a + b)\) dan \((ab)\). .keduanya adalah bilangan kaudarat sempurna. (dalam artinya, \("ab"\) = \(a\) kali \(b\))" 

    

                Kami tertarik dengan ini dengan sedikit catatan : "APAKAH INI TERLAMPAU EKSTREM ?". Akan tetapi setelah mencermati, ternyata tidak. Hanya perlu ide kreatif saja. 

Bagaimana strateginya ???

• Bisa dengan mencoba-coba

Langkahnya, bagi kasus : 

Kasus 1 : \(a\) dan  \(b\) keduanya bilangan kuadrat sempurna. 

    Kita bisa mainkan : $$x^2 + y^2 = z^2$$  dengan menempatkan  \((a,b)\le 100\) sehingga \((x, y) \le 10\)

        Dengan ini, jelas saja, hanya ada solusi \((x,y) = (3,4), (6, 8)\)

Kasus 2 :  \(b > a\) dengan  \(b = a.k\),

Menjadsikan :  \(ab = a^2 . k\)  sehingga  \(b = a.p^2 \) menjadikan  \(a + b = a + a.p^2  = a(1 + p^2) = w^2 \) hal ini menjadikan haruslah  \(a = 1 + p^2 \) atau  \(a = c.d^2. 1 + p^2 = c\) atau  \(a = cd ,  1 + p^2 = cd.q^2\)

Subkasus 2.1 saat  \(a = 1 + p^2\)  maka dengan  \(b = ap^2  = (1 + p^2)p^2 \le 100\) maka kita hanya bisa membuat  \(p \le 3\). 

        Sehingga untuk  \(p = 1\) didapatkan :  \(b = (2).1  = 2\)  dan  \(a = 2\)  didapatkan  \(ab = 4 = 2^2\)  dan  \(a + b = 4 = 2^2\)

        Sehingga untuk  \(p = 2\) didapatkan :  \(b = (5).4  = 20\)  dan  \(a = 5\)  didapatkan  \(ab = 100 = 10^2\)  dan  \(a + b = 25 = 5^2\)

         Sehingga untuk  \(p = 3\) didapatkan :  \(b = (10).9  = 90\)  dan  \(a = 10\)  didapatkan  \(ab = 900 = 30^2\)  dan  \(a + b = 100 = 10^2\)

               

Sehingga untuk subkasus in, kikta dapatkan pasangan \((a, b) = (2,2), (5, 20), (10, 90)\)

Subkasus 2.2 kita mainkan  \(a = cd^2 \)  dan  \(1 + p^2 = c \)  sehingga  \(ab = a^2. p^2 = c.d^2 . c \), untuk  \(c, d\) > 1. 

    Jika  \(c = 2\) maka yang terjadi  \(p = 1\) sehingga  \(b = a\)  dengan  \(a = 2.d^2 \le 100 \) sehingga  \(d \le 7\)  sedangkan  \(a + b  = a(1 + p^2)   = cd^2 . c  = 4.d^2\)  

    Cek  \(a = 98\)  maka  \(a + b = 14^2\), 

    Cek  \(a = 72\)  maka  \(a + b = 12^2\)

    ...

    Dst

        Jika  \(p = 2\) maka   \(c = 5\) sehingga \(a = 5.d^2 \le 100\) menjadikan  \(d \le 4\)

        Jika  \(p = 3\) maka   \(c = 10\) sehingga \(a = 10d^2 \le 100\) menjadikan  \(d \le 3\)

        Jika  \(p = 4\) maka   \(c = 17\) sehingga \(a = 17d^2 \le 100\) menjadikan  \(d \le 2\)

Seteklah ini, tidak ada lagi kecuali \(d = 1\)

    Sehingga,  banyak pasangan \((a,b) = 0 + 0 + 1 + 6 = 7\)

Karena ada pasangan \((a, b) = (20, 80), (98, 98), (72, 72), (50, 50), (32, 32), (18, 18), (8, 8)\)

 

Subkasus 2.3 kita mainkan  \(a = cd\)  dan  \( 1 + p^2 = c.d.q^2\)  sehingga nanti : 

$$ a + b = cd(1 + p^2)  = cd.cdq^2$$

dengan  \(ab = a^2.p^2 \) 

  

Ini yang menurut hemat kami lumayan ekstrem

Bagimana anak-anak kita bermain di wilayah : 

 $$1 + p^2 = D.y^2$$

Apakah Pembuat soal ini sudah memaksa anak-anak SMP bermain di Cauchy-Scwartz ?? Mengenal Brahmaghupta Identity, Fibonacci Identity, atau Euler four square Identity atau  Lagrange's four-square Identity atau Pell equation atau Bachet's conjecture atau apalah itu ????

Tapi, tidak mengapa. Kita coba gali ide. Andaikan \(c = 1\), \(a = d\), maka \(1 + p^2   = d.q^2\), karena kita sudah belajar persamaan ini, kita dapat munculkan daftar bilangan \(d  = {2, 5, 10, 13, 17, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, .........} \)

Cek jika \(d = 2\) maka \(1 + p^2 = 2.q^2\)  sehingga akan ada pasangan \((p, q) = (1, 1), (7, 5), (41, 29), (239, 169), ....... dst\)

        Dari sini, ada solusi \(a = d= 2\) dan \(b = 2. 7^2 = 98\) selain itu, \( b  >  100\). 

Cek jika \(d = 5\) maka \(1 + p^2 = 5.q^2\)  sehingga akan ada pasangan

 \((p, q) = (2, 1), (38, 17), (682,305),  (12238, 5473)., ....... dst\)

        Dari sini, ada solusi \(a = d= 5\) dan \(b = 5. 2^2 = 20\) selain itu, \( b  >  100\). 

Cek jika \(d = 10\) maka \(1 + p^2 = 10.q^2\)  sehingga akan ada pasangan \((p, q) = (3, 1), (117, 37), (4443, 1405),  (168717, 53353)., ....... dst\)

        Dari sini, ada solusi \(a = d= 10\) dan \(b = 10. 3^2 = 90\) selain itu, \( b  >  100\). 

Cek jika \(d = 13\) maka \(1 + p^2 = 13.q^2\)  

sehingga akan ada pasangan \((p, q) = (18, 5), (23382, 6485), (30349818, 8417625),  (39388438822, 10925937865)., ....... dst\)

        Dari sini, ada solusi terkecil \(a = d= 13\) dan \(b = 13. 18^2 = 4212\) walaupun benar \( a + b = 4225 = 65^2\)  dan \( ab = 13.13.18^2  = 234^2\) akan tetapi \( b  >  100\). 

Pertanyaan kita,   Darimana angka-angka itu muncul ???? 

(Apa kita harus bertanya pada Rumput yang bergoyang atau " tanya pada Google, dia tahu segalanya. Kalau dia nggak tahu, ya berarti jawabannya belum ada.")

Tidak, tidak,...... "Eureka" 

Silahkan buat kamu yang belum mual, cari tahu jawabannya di Link download di bawah.   (Silahkan cari dimana Linknya) 

        Persamaan Pell adalah salah satu topik yang paling menarik dan abadi dalam teori bilangan, sebuah bidang matematika yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat. Persamaan ini, yang memiliki bentuk umum

\[ x^2 - D.y^2 = 1 \]

 di mana $n$ adalah bilangan bulat positif yang bukan kuadrat sempurna, telah menarik perhatian matematikawan selama lebih dari seribu tahun. Meskipun namanya menyandang nama seorang matematikawan Inggris abad ke-17, sejarahnya jauh lebih tua dan penemuan solusinya melibatkan beberapa pikiran terbrilian dalam sejarah matematika.

            

        Kisah persamaan Pell dimulai jauh sebelum John Pell lahir. Akar terdalamnya dapat ditelusuri kembali ke matematikawan Yunani kuno, khususnya pada karya Archimedes (sekitar 287–212 SM). Sebuah masalah terkenal yang terkait dengan Archimedes, "Masalah Ternak Archimedes" (Archimedes' Cattle Problem), menuntun pada sebuah persamaan Diophantine yang sangat mirip dengan bentuk persamaan Pell, bahkan dengan n yang sangat besar. Memecahkan masalah ini membutuhkan solusi untuk

\[ x^2 −4729494 . y^2 = 1 \]

, yang merupakan bentuk ekstrem dari persamaan Pell dan baru terpecahkan sepenuhnya dengan bantuan komputer di abad ke-20.

        Namun, pengembangan sistematis pertama dari metode untuk menyelesaikan persamaan jenis ini datang dari India. Sekitar abad ke-7, matematikawan India seperti Brahmagupta (598–668 M) memberikan kontribusi signifikan. Dalam karyanya, Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta tidak hanya mempelajari persamaan kuadratik Diophantine tetapi juga mengembangkan metode yang dikenal sebagai "cakravala" (metode siklik) untuk menemukan solusi bilangan bulat untuk $$x^2 -D.y^2 = 1$$ Metode ini adalah terobosan luar biasa dan merupakan cikal bakal dari apa yang kemudian dikenal sebagai metode pecahan kontinu. Brahmagupta bahkan menemukan identitas yang sekarang dikenal sebagai Identitas Brahmagupta, yang memungkinkan konstruksi solusi-solusi baru dari solusi-solusi yang sudah ada: $$(x_1^2 − Dy_1^2)(x_2^2 − Dy_2^2) = (x_1 .x_2 ± Dy_1 . y_2)^2 − D(x_1 .y_2 ± x_2 .y_1)^2$$ Identitas ini sangat kuat dalam menghasilkan solusi dari persamaan Pell.

    Setelah Brahmagupta, matematikawan India lainnya, Bhaskara II (1114–1185 M), juga mengembangkan metode cakravala ini lebih lanjut dalam karyanya Bijaganita. Ia berhasil menemukan solusi untuk kasus-kasus yang sangat sulit, seperti $$x^2 - 61y^2 = 1$$ , jauh sebelum Eropa memiliki metode serupa. Pengetahuan tentang persamaan Diophantine dan metode-metode India sayangnya hilang di Eropa selama Abad Kegelapan. Baru pada abad ke-17, minat terhadap masalah ini bangkit kembali. 

          Pierre de Fermat (1601–1665), seorang matematikawan amatir yang brilian, adalah salah satu tokoh kunci dalam kebangkitan ini. Terinspirasi oleh karya Diophantus (yang bukunya Arithmetica baru ditemukan kembali), Fermat mengajukan serangkaian tantangan kepada matematikawan sezamannya. Salah satu tantangan terpentingnya adalah menemukan solusi bilangan bulat untuk $$x^2 m- D.y^2 = 1$$. Fermat secara implisit menegaskan bahwa untuk setiap n yang bukan kuadrat sempurna, persamaan ini akan memiliki jumlah solusi bilangan bulat tak terbatas.Meskipun Fermat adalah orang yang menghidupkan kembali minat di Eropa, ironisnya, ia tidak menerbitkan bukti atau metode umum untuk menyelesaikan persamaan ini. Ia hanya memberikan beberapa contoh solusi. 

Silakan downlod disini. Semoga bermanfaat 😇 👉👉👉 📂

         Nama "Persamaan Pell" sendiri adalah sebuah kesalahan penamaan historis. Nama ini diberikan oleh Leonhard Euler (1707–1783), salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa. Euler secara keliru mengaitkan pengembangan metode umum untuk menyelesaikan persamaan ini dengan matematikawan Inggris John Pell (1611–1685). Padahal, Pell sendiri tidak melakukan kontribusi signifikan terhadap solusi persamaan ini. Ia lebih dikenal karena karyanya di bidang aljabar dan tabel matematika. Sumber yang mungkin menyebabkan kekeliruan Euler adalah karena Pell sering berkomunikasi dengan matematikawan lain yang memang mengerjakan masalah ini, seperti Lord Brouncker.