Olimpiade Sains Nasional tingkat Kabupaten/Kota (OSNK) untuk bidang Matematika jenjang Sekolah Menengah Atas (SMA). Kompetisi ini diselenggarakan oleh Pusat Prestasi Nasional sebagai bagian dari program pengembangan bakat dan potensi peserta didik Indonesia dalam bidang sains dan teknologi. Tujuan utama dari OSNK Matematika ini adalah untuk menjaring siswa-siswa berbakat di bidang matematika dari seluruh penjuru Indonesia agar dapat melangkah ke tingkat provinsi, nasional, hingga mewakili negara dalam ajang internasional seperti International Mathematical Olympiad (IMO). Soal-soal dalam dokumen ini disusun oleh tim ahli matematika nasional yang telah berpengalaman dalam penyusunan soal olimpiade, dengan memperhatikan standar internasional dan prinsip validitas serta reliabilitas soal yang tinggi. Selain sebagai alat seleksi, naskah soal ini juga dapat digunakan sebagai bahan latihan dan evaluasi untuk guru dan siswa dalam mengukur kemampuan berpikir kritis, analitis, dan kreatif dalam menyelesaikan persoalan matematika yang kompleks dan menantang.
Namun, dari sebuah pengalaman, kami melihat adanya sebuah masalah yang menarik untuk bisa kita kaji lebih lanjut. yaitu pada salah satu masalah Geometrical bahwa kemungkinan ini terjadi adalah karena :
KESALAHAN PESERTA DALAM MENDOKUMENTASIKAN SOAL.
Apa yang menjadi masalah ?
=========================================================================
Diberikan lingkaran yang berpusat di titik O dan berjari-jari 65. Misalkan A, B, C tiga titik berbeda pada lingkaran tersebut dan D, E, F berturut-turut merupakan titik tengah BC, AC, AB. Jika dua ruas garis di antara OD, OE, OF memiliki panjang 25 dan 52, maka panjang ruas garis yang ketiga adalah. . .
=========================================================================
Solusi :
Hal yang paling sederhana dari masalah ini adalah tentang kemampuan kita menggunakan Trigonometry Identity :
sin (x + y) = sin (x) cos (y) + sin (y) cos (x)
Andi kita mainkan OD = 25 dan OF = 52, sedangkan OB = 65, maka kita punya Triple Phytagoras :
25, 60, 65
39, 56, 65
==================================================================
PENTING . . . !
Karena 65 = 5 x 13 , maka ada kemungkinan Triple : 5, 12, 13 dan 3, 4, 5
Akan tetapi, menurut desain Babylonian triple :
(p^2 - q^2, 2pq , p^2 + q^2 )
Dengan mempertimbangkan :
65 = 8^2 + 1^2 = 7^2 + 4^2
Maka menurut desain ini, ada triple :
63, 16, 65 33, 56, 65
Dua tambahan triple penting untuk memainkan desain.
==================================================================
Sampai disini, kita bisa menebak, ada nilai :
OF = 52, OD = 25 dan OE = 16 (Ini terjadi jika AB < BC < CA)
Atau OF = 52, OD = 25 dan OE = 56 (Ini terjadi jika CA < AB < BC)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CLAIM : FD ∈ ℕ
sin (∠ABC) = sin (∠ABO + ∠OBC) = sin (β + α) = sin α . cos β + sin β cos α
= OD/OB . BF/BO + OF/OB . BD/BO
= 25/65 . 39/65 + 52/65 . 60/65
= 5/13 . 3/5 + 4/5 . 12/13
= (15 + 48)/65
= 63/65
Sehingga jelas cos (∠ABC ) = 16/65
Dengan Law of Cos :
FD^2 = 39^2 + 60^2 - 2. 39. 60 . cos (∠FBD)
= 13^2 . 9 + 9 . 400 - 2. 13. 3 . 5 . 12 . 16/65
= 9 ( 169 + 400) - 8 . 9. 16
= 9 (41 + 400)
= 3^2 . 21^2
= 63^2
Denagn demikian, maka AC = 2 . FD = 126
sehingga AE = EC = 63. Membuat OE = 16
================================================================
MASALAH TERJADI SAAT : kita Gunakan Triple 33, 56, 65
Cek bahwa : AC = 66, membuat OE = 56, AE = CE = 33, sehingga FD = 33
Yang jika kita perlakukan pada desain :
sin (∠ABC) = sin (∠ABO - ∠OBC) = sin (β - α) = sin β cos α - sin α . cos β
= 4/5 . 12/13 - 5/13 . 3/5
= 33/65
Perhatikan desain gambar berikut !
==========================================================================
Apa sebenarnya yang membuat ini begitu CANTIK ?
cek bahwa :
65 = 5 x 13 = (1^2 + 2^2)(2^2 + 3^2)
Menurut Brahmaghupta - Fibonacci - Lagrange identity :
(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2
(Joseph-Louis_Lagrange ; He made significant contributions to the fields of analysis, number theory, and both classical and celestial mechanics)
Triple ini lah yang membuat ada desain unik, yaitu 65 = 8^2 + 1^2 = 7^2 + 4^2
Sehingga dengan memanfaatkan desain ini :
Kita buat general :
A = x^2 + y^2 = a^2 + b^2
A^2 = x^4 + y^4 + 2(xy)^2 = a^4 + b^4 + 2(ab)^2
Benarkah ada masing-masing 4 pasangan ???
A^2 = (x^2 + y^2) (a^2 + b^2)
Menariknya, adalah saat A = (4k + 1)(4m + 1)
diamana 4k + 1 = x^2 + y^2 dan 4m + 1 = a^2 + b^2
A^2 = (m^2 + n^2) (p^2 + q^2)
Pasangan pertama memberi Triple : (xa + yb)^2 + (xb - ya)^2
Pasangan Kedua memberi Triple : (xb + ya)^2 + (xa - yb)^2
Pasangan Ketiga memberi Triple : (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2
Pasangan Keempat memberi Triple : (a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2
======================================================================
POLA INI BERLAKU UNTUK SEBARANG PASANGAN BILANGAN BULAT UNIQ INI.
13 x 17 = (2^2 + 3^2)(1^2 + 4^2) = (4.2 + 3.1)^2 + (4.3 - 2.1)^2 = 11^2 + 10^2
= (4.3 + 2.1)^2 + (4.2 - 3.1)^2 = 14^2 + 5^2
Karena :
13^2 = 5^2 + 12^2
17^2 = 8^2 + 15^2
Maka 221^2 = (5^2 + 12^2)(8^2 + 15^2)
= (5.8 + 12.15)^2 + (5.15 - 12.8)^2 = 220^2 + 21^2
= (5.15 + 12.8)^2 + (5.8 - 12.15)^2 = 171^2 + 140^2
Selain itu, ada triple :
(11^2 + 10^2)(14^2 + 5^2) yang juga membuat 2 pasangan triple kuadrat. yaitu :
= (11.14 + 10.5)^2 + (11.5 - 10.14)^2 = 204^2 + 85^2
= (11.5 + 10.14)^2 + (11.14 - 10.5)^2 = 195^2 + 104^2
Untuk lebih menarik lagi, bacalah :
Bacaan yang sangat bagus Disini !!!
 |
| Buku Karya : Andrews, George E. (Lihat Hal 144) |
===================================================================
Menurut Claudius Ptolemeus :
AC x BD = AB x CD + BC x AD
Sumber : C. Ptolemy, Almagest, Book 1, Chapter 10.
(Lihat bacaan keren disini !! atau disini !!!)
Menurut Thales dari Miletus : (disebutkan dan dibuktikan sebagai bagian dari proposisi ke-31 dalam buku ketiga Element's Euclid)
Bahwa Jika ∠BDO = ∠BFO = 90^o maka B, D, O,F berada di satu busur lingkaran yang berpusat di Median BO.
Sehingga berlaku :
BO x FD = BD x OF + OD x BF
65 x FD = 60 x 52 + 25 x 39
FD = 12 x 4 + 5 x 3 = 48 + 15 = 63
Sehingga CA = 2 x FD = 126
Dengan cara serupa di C,D,O,E
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Tapi, kemudian, jika kita letakkan F' outside [ABC] sehingga BF' = BF serta ∠BF'O = ∠BDO = 90^o, yang artinya, B, F', D, O siklis.
didapat OE = 56
=======================================================================
Beberapa Maslaah Tambahan :
- Jika dengan desain di atas, lingkaran Luar D, E, F memotong AB, BC, CA berturut di P, Q, R. Tunjukkan jika AQ, BR, CP Konkuren
- Tunjukkan jika poin 1. benar, maka anggap perpotongan ketiga garis di H, tunjukkan bahwa B, P, H, Q siklis. (Berlaku pula untuk C,R,H, Q dan A,P,H,R)
- Jika kemudian pada point 1 dan 2 benar, tunjukkan benar bahwa Pusat ketiga pasangan siklis tadi, ada di bsuru lingkaran luar DEF.
- Jika misalkan titik X, Y berada diluar lingkaran DEF, X perpotongan sinar ED dan Lingkaran luar ABC, dan Y di sinar AH sehingga D, X, Y, Q, siklis, tunjukkan benar XY akan sejajar dengan garis yang menghubungkan titik E ke pusat lingkaran luar APHR
- Jika Z adalah perpotongan sinar XY dan AB, tunjukkan bahwa XZ tegak luaurs AB
- Misalkan S adalah median BX, tunjukkan bahwa BX tegak lurus OS.
- Jika lingkaran luar BZ,X dan D, X,Y bertemu di titik T, tunjukkan bahwa AX juga lewat T.
Komentar
Posting Komentar