How to Solve Quadratic Equations.

Pada kesempatan kali ini, kami akan berbagi seputar solusi tentang Bagaimana masalah seputar Persamaan Kuadrat bisa dimainkan.

Banyak sekali masalah seputar persamaan kuadrat yang diamainkan dalam Olimpiade Matematika. Persamaan kuadrat adalah sebuah persamaan polinomial (suku banyak) yang pangkat tertingginya 2 atau berorde 2. Salah satu contoh persamaan kuadrat seperti ini:

Persamaan dasar yang harus kita kuasai dalam menyelesaikan masalah berkaaitan dengan Persamaan Kuadrat. yaitu ketika kita memiliki sebuah variabel dimana akan dibawa mengarah pada sebuah persamaan kuadtrat.

Sebagai contoh :

Contoh 1 : Apakah mungkin ada bilangan asli x sehingga memenuhi 2/x + 3x - 1 = x/5 ?

SOLUSI :

pertama, kita mainkan pecahannya. kita ubah menjadi (2 + 3x^2 - x)/x = x/5

sehingga 2 + 3x^2 - x = x^2/5

10 + 15x^2 - 5x = x^2

14x^2 - 5x + 10 = 0

Dengan Diskriminan : D = 5^2 - 4.14.10 = 25 - 140.4 < 0

karena Diskriminan < 0, jelas hanya ada solusi x imajiner.

Jadi tidak ada solusi bilangan asli x.

Contoh 2 : Apakah mungkin ada bilangan asli x sehingga memenuhi 9x^2 - 3x + 1 menghasilkan bilangan kuadrat sempurna ?

SOLUSI :

pertama, kita mainkan 6x^2 - 3x + 1 = m^2

sehingga kita ubah : 9x^2 - 3x + 1 - m^2 = 0

mainkan Diskriminan : 3^2 - 4.9 (1 - m^2) = k^2 (D = k^2 terjadi karena x harus bulat).

9 - 36 + 36m^2 = k^2

- 27 + (6m)^2 = k^2

(6m)^2 - k^2 = 27

(6m - k)(6m + k) = 27

Jika 6m - k = 1, maka 6m + k = 1 + 2k = 27 didapat k = 13 dan 6m = 14, sehingga m = 7/3

Kasus ini tidak boleh, karena Kuadrat sempurna adalah bahasa lain untuk m = bulat,

Jika 6m - k = 3, maka 6m + k = 3 + 2k = 9 sehingga k = 3 dan m = 1.

dari sini, didapat 9x^2 - 3x + 1 = 1 maka 9x^2 - 3x = 0 didapat x = 0 dan x = 1/3

Hanya itu kasus yang mungkin. Maka dapat dipastikan tidak ada bilangan asli yang memenuhi.

Ide lain yang bisa dipakai untuk hal ini adalah :

9x^2 - 3x + 1 = m^2

ax^2 + bx + c = m^2

karena diminta x asli, maka harus kita buat

(px - x1)(rx + x2) = 0 atau (px - x1)(rx - x2) = 0

dengan catatan, minimal salah satu bulat, anggaplah x1 = p.n

Jelas p(x - n)(rx + x2) = 0 atau p(x - n)(rx - x2) = 0

jelaslah, FPB(a, b, c) = p.

9x^2 - 3x + 1 - m^2 = 3(3x^2 - x - k) = 3(3x + (3q - 1))(x - q) = (x +- x1)(x +- x2)

Jika kita tidak bisa membuat seperti ini, maka otomatis masalah selesai.

Kemudian, jika kita mainkan diskriminan :

D = b^2 - 4a.c + 4.am^2 = r^2

karena nanti b^2 - 4ac pasti diketahui nilainya, sehingga ada 2 kemungkinan :

UNTUK b = 2k, maka 4k^2 - 4ac + 4a.m^2 = 4r^2

(k^2 - ac) + a.m^2 = r^2

UNTUK b = (2k + 1) maka (b^2 - 4ac) + 4am^2 = r^2

dari dua kasus ini, akan ada solusi unik, dimana (m, k) akan berlaku :

m2 = 3.m1 + 2.k1

k2 = 3.k1 + 4.m1

dengangeneralisaasi :

========================================================================

SOAL LATIHAN

=======================================================================

1. Temukan semua solusi asli x < 1000 sehingga persamaan x^2 + (x + 3)^2 menghasilkan kuadrat sempurna

Jawaban : x = {9, 60, 377}

mainkan operasi aljabar, sehingga ketemu persamaan : ax^2 + bx + c - m^2 = 0

SOLUSI LENGKAP

2. Banyaknya solusi n asli sehingga (n³- 7)/(n – 7) menghasilkan bilangan Kuadrat sempurna adalah .........

Jawaban : tidak ada solusi

mainkan operasi aljabar, (n^2k - m^2k) = (n^k - m^k)(n^k + m^k)

Lalu kita mainkan faktorisasi bilangan.

SOLUSI LENGKAP

3. Apakah ada solusi asli n sehingga n(2n^2 - n + 2) menghasilkan bilangan kuadrat sempurna ? Jika ada temukan jumlah nilai n terkecil.

Jawaban : tidak

mainkan operasi aljabar, an^3 + bn^2 + cn + d = (n - n1)(an^2 + pn + q) = 0

Lalu kita mainkan diskriminan untuk an^2 + pn + q = 0

SOLUSI LENGKAP

4. Apakah ada solusi asli (a, b) sehingga ab - a^2 + 2b^2 = 1. Jika tidak ada, temukan minimum asli K sehingga ada solusi asli a, b ab - a^2 + 2b^2 = K.

CLUE :

mainkan diskriminan untuk an^2 + pn + q = 0

SOLUSI LENGKAP

4. Manakah diantara ekspansi berikut yang menghasilkan kuadrat sempurna ?

a. 5! (1 + 6 + 6.7 + 8)

b. 4! (1 + 5 + 5.6 + 5.6.7)

c. 6! (1 + 2.3 + 4.5 + 6.7 + 7.8)

CLUE :

mainkan diskriminan untuk an^2 + pn + q = 0

SOLUSI LENGKAP

5. Temukan semua pasangan asli (a, b) sehingga a^2 + b^2 - 2ab + a - 2b = 2 ada berapakah banyaknya ??

Jawaban : tak hingga solusi.