Dalam sebuah pembahasan susunan data Dari masa SD kita sudah mengenal apa itu namanya Median. Secara sederhana, median pasti dekat dengan rata-rata. Tapi tidak selalu sama. Contohnya adalah jika ada n bilangan asli berurutan, maka mediannya pasti aₖ dimana aₖ menyatakan angka urutan ke k dan k = (n + 1)/2. Jika n genap, maka mediannya adalah 2 angka yang mengapit aₖ dan jika n ganjil, maka k pasti bulat.
Sebagai contoh :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,....... , 100.
Maka didapat medianya = aₖ dimana k = (100+1)/2 = 101/2 maka aₖ diapit oleh a₅₀ dan a₅₁ sehingga Me = (50 + 51)/2 = 50,5.
Pola ini jika misalkan kita ubah menjadi 1234567891011121314......9899100101. Angka yang berada tepat di tengahnya adalah ?
Kasus ini bisa dikerjakan dengan menghitung banyaknya digit.
123456789 ada 9 digit, 1011121314......1819 ada 10 x 2 = 20 digit. Maka 2021222324......979899 = 8 x 10 x 2 = 160 digit. Sehingga total = 9 + 9 x 10 x 2 + 2 x 3 = 195.
Maka digit tengahnya adalah digit ke 196/2 = 98. Oke, perhatikan jika ada bilangan 1234567891011213........47484950. Maka banyaknya digit ada 9 + 4 x 10 x 2 + 2 = 91. Maka jelas digit ke 98 adalah 91 + 2 x 3 + 1 yaitu angka 5, dimana ada digit ke 96 sampai 100 adalah .... .....53545....
Oke sekarang kita coba rumuskan. Bilangan ini biasanya berurutan dengan banyak digitnya ganjil. Jika dari angka 1, lalu berurutan sampai angka ke n, maka ada pola.
Saat n = 1 digit, maka digit tengahnya adalah (n + 1)/2. Naah, saat n dua digit, maka banyaknya digit adalah 9 + 2(n – 9) = 2n – 9 sehingga berlaku angka yang keluar tepat ditengahnya adalah angka urutan ke (2n – 8)/2 = n – 4. Sehingga digit ke n – 4 ada 2 bentuk, jika n ganjil, maka nilainya angka satuan dari (n + 5)/2 dan saat n genap, maka didapat digit ke n – 4 adalah digit puluhan dari (n + 6)/2. Anggaplah n = 2k + 1, maka (2k + 6)/2 = k + 3 dan saat n = 2k, maka (2k + 6)/2 = k + 3.
Sekarang bagaimana jika n = 3 digit ? Kita bisa lihat data, bahwa banyaknya digit dari 1 sampai angka 99 adalah 9 + 2(99 – 9) = 189, maka banyaknya digit 1 sampai 100 = 189 + 3 (100 – 99), dan sampai angka ke n maka banyaknya angka adalah = 189 + 3(n – 99) = 3n – 108 = 3 (n – 36). Sehingga saat n 3 digit, maka ada 2 kemungkinan, yaitu saat n genap, maka jelas angka tengahnya adalah tepat di tengah dari angka urutan ke k dan urutan ke k + 1, maka kasus dari n haruslah ganjil. Karena banyak digit = 3(n – 36) = 3(2k + 1 – 36) = 6k – 105, didapat angka tengahnya adalah angka urutan ke (6k – 104)/2 = 3k – 52
Contohnya :
Angka tepat ditengah dari 1234567891011121314.......101102103 adalah angka urutan ke 3.51 – 52 = 101. Ini karena banyaknya digit adalah 6.51 – 105 = 201. Oke, karena angka tengahnya 3k – 52, maka n ≤ 161, didapat angka tengahnya adalah angka puluhan atau satauan dari bilangan dua digit. Karena saat n = 161, banyaknya digit = 189 + 3(62) = 375. Maka angka tengahnya adalah urutan ke 188. Saat n = 13, maka banyaknya digit = 381, sehingga angka tengahnya adalah urutan ke 191, yaitu angka puluhan dari angka 100, yaitu 0.
Kita coba rumuskan, saat k = 81, n = 163, maka angka tengahnya angka puluhan dari 100. Saat k = 82, maka n = 165, angka tengahnya adalah angka puluhan dari 101. Saat k = 83, n = 167, maka angka tengahnya adalah angka puluhan dari 102. Sehingga pola ini asik. Yaitu saat n = 2k + 1, banyaknya digit = 6k – 105, angka tengahnya adalah urutan ke 3k – 52, yaitu angka puluhan dari k + 19.
Contoh :
Angka tengah dari bilangan 123456789101112......198199200201 adalah angka puluhan dari 100 + 19 = 119, yaitu 1.
Angka tengah dari bilangan 123456789101112......230231 adalah angka puluhan dari 115 + 19 = 134, yaitu 3.
Sekarang, kita coba pola serupa tapi berbeda marga. Seperti contoh di soal AMC -12 tahun 2021. Yaitu : 122333444455555666666.........199199199200200.....200200 dimana setiap urutan angka (1,2,3,4,...dst) keluar sebanyak angka itu. Yaitu pola ini sampai digit dimana angka 200 keluar 200 kali. Jika disusun sebagai data, berapakah mediannya ?
Lihat soal aslinya disini :
atau disini :
SOAL LENGKAP AMC-12 Tahun 2021
Disini, kita punya banyak digit = M = (n(n+1))/2 = (200(201))/2 = 100*201 = 20100 Maka mediannya adalah rataan dari angka urutan ke 10050 dan 10051, Lalu anggaplah ada bilangan bulat k sehingga k(k + 1)/2 ≤ 10050 maka k(k + 1) ≤ 20100 . Perhatikan bahwa 141(142) = 20022, maka jelaslah angka ke 10050 dan 10051 adalah angka 142. Sehingga Mediannya = (142+142)/2 = 142.
Jika kemudian pola ini diubah menjadi kasus pertama, yaitu angka 122333444455555.....200200200200 adalah bilangan besar dengan M digit. Maka ada solusi :
Perhatikan pola, bahwa banyaknya digit adalah M dimana M = (n(n+1))/2 saat n satu digit. Jika n = 2 digit, kita bisa lihat pola, n = 10, maka banyaknya digit adalah 45 + 2.10 = 65, lalu saat n = 11, maka M = 45 + 2(10 + 11) sehingga saat n = 99, banyaknya digit = 45 + 2(10+11+12+13+....... + 99) = 9(10)/2 + 2(90(109))/2 = 45 + 90 x 109 = 9855. Saat n = 100, banyaknya digit = 9855 + 3*100 , saat n = 101, maka banyaknya digit = 9855 + 3*100 + 3*101 sehingga saat n = 3 digit, maka M = 9855 + 3(100+101+102+.....+n) = 3*3285 + 3(n - 99)(n + 100)/2 = 3(6570 + n² + n – 9900)/2 = 3(n² + n – 3330)/2 = 3( (n + 58)(n – 57) – 24)/2
Sehingga dari kasus ini, banyaknya digit adalah M = 3((200+58)(200 - 57) -24)/2 = 3(258.143 – 24)/2 = 3(129 . 143 – 12) = 3*129*143 – 36 sehingga Mediannya adalah (3*129*143 – 35)/2 = (3*130*143 – 3*143 – 3*12 + 1)/2 = 3*65*143 – 18 - 428/2 = 27885 – 18 – 214 = 27653. Angka ini bisa dicari dengan melihat pola n 3 digit. Anggaplah ada k < n, sehingga 3((k + 58)(k – 57) – 24)/2 ≤ 27653, 3(k + 58)(k – 57) ≤ 27689 , perhatikan bahwa 27689 = 3*9229 + 2 < 3*9230 maka (k + 58)(k – 57)/2 < 9230 ;; (k + 58)(k – 57) < 18460. Jelaslah kita punya k = 147 dimana (147+58)(147-57) = 18450. Dari sini maka banyaknya digit sampai 147 adalah 3(147+58)(147-57)/2 – 36 = 3.18450/2 – 36 = 3(9213) = 27639. Padahal jika n = 200, banyaknya digit adalah 55305. Mediannya di angka 27653 maka masih ada angka 27653 – 27639 = 14 angka lagi setelah angka 1223334444.....147147147 yaitu sebanyak 14. Maka digit ke 27653 adalah angka puluhan dari 148, yaitu 4.
=============================================
LATIHAN SOAL :
1). Temukan digit tengah dari 123456789101112......202020212022
2). Temukan digit tengah dari 112233445566778899101011111212.....98989999.
3). Temukan digit tengah dari 13579111315171921.....99101103
4). Temukan digit tengah dari 2468101214161820222426.....98100
5). Temukan median dari 1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,6......,2020,2020,2020, 2021,2021,2021, 2022,2022,2022.
6). Temukan Median dari 1, 2,2,2, 3,3,3,3,3, 4,4,4,4,4,4,4, 5,5,5,5,5,5,5,5,5, ....... , 100,100,100,100,100,100,100.
7). Temukan median dari 1,11,111,1111, 11111, ........., 11111....111 (111 kali angka 1).
8). Temukan median dari 12, 24, 36, 48, 510, 612, 714, 816,....., 20204040, 20214042, 20224044.
9). Temukan digit tengah dari 122436485106127148169181020......9819699198100200.
10). Temukan digit tengah dari 1124394165256367498649811010011121.....99980110010000.
============================================================
Komentar
Posting Komentar