Dalam sebuah operasi Aljabar sederhana jika diberikan bilangan bulat a, b, c dan d, maka akan ada a + b ,a + c,a + d, b + c, c + d dan b + d ke 6 nya adalah bilangan asli. Tapi, apakah persamaan ini bisa dikembangkan menjadi bentuk a + b = k₁² , a + c = k₂² , a + d = k₃² , b+ c= k₄² , b + d= k₅² , c+ d= k₆² atau kami menyebutnya Quartet relatif Kuadrat. Apakah ada ? Kita menduga ada, tapi apakah kita bisa merumuskannya ?
Masalah ini kami terinspirasi dari soal IMO Hari 1 tahun 2021, dimana disana diminta menemukan triplet a + b, a + c dan b + c ketiganya kuadrat sempurna. Masalah tersebut dibatasi pada a + b = (2k -1)² ; a + c = (2k)² dan b + c = (2k + 1)² maka ada solusi k ≥ 3. Tapi disana harus memenuhi bahwa n ≤ a < b < c ≤ 2n. Maka ada solusi k ≥ 6. Selanjutnya, anggaplah b = a + m, maka c + a dan c + a + m keduanya kuadrat sempurna, serta berlaku pula untuk d. Kita bisa buat persamaan bahwa c + a = k₂² dan d + a = k₃² maka c + d = k₆² = k₂² + k₃² - 2a serta c + a + m = k₄² dan d + a + m = k₅² maka c + d = k₆² = k₄² + k₅² - 2m – 2a sehingga ada kesamaan k₂² + k₃² = k₄² + k₅² - 2m ; perhatikan bahwa b = a + m = k₁² - a maka m = k₁² - 2a sehingga k₂² + k₃² = k₄² + k₅² - 2k₁² + 4a.
Lihat soal asli :
Jika bermodal kasus IMO, apakah ada bilangan urut ?
a + b = (2k – 1)² ;; a + c = (2k)² dan b + c = (2k + 1)² Maka ada solusi a = 2k(k – 2) ; b = 2k² + 1 dan c = 2k(k + 2) sehingga memenuhi a + d dan c + d keduanya kuadrat. Maka 2k(k – 2) + d = k₃² dan 2k(k + 2) + d = k₆² serta 2k² + 1 + d = k₅² jelaslah tidak ada solusi karena jika a < b < c maka a + d < b + d < c + d ;; k₃² < k₅² < k₆² padahal dengan bentuk ini, k₆² - k₅² = 4k – 1 dan k₅² - k₃² = 4k + 1 jelaslah k₅² - k₃² < k₆² - k₅² . Anggaplah k₆ = k₅ + t dan k₃ = k₅ - t, maka didapat - 2tk₅ + t² = 4k + 1 dan 2tk₅ + t² = 4k – 1 = 4k + 1 – 2 = -2tk₅ + t² - 2 ;; 2tk₅ = - 2tk₅ - 2 jelaslah 2tk₅ = -1 disini tidak mungkin terjadi.
Jika k₃ = k₅ - m dan k₆ = k₅ + n, maka pola akan mengikuti bentuk berikut :
Disini, m pasti ganjil dan n juga ganjil. Bagaimana mungkin terjadi ? Karena k₅ - m = k₃ maka k₅² - k₃² = 2k₅m – m² = 4k + 1 lalu k₆² - k₅² = 2k₅n + n² = 4k – 1 . Jelaslah ada solusi 2k₅(n – m) = m² + n² + 2. Didapat k₅ = (m^2+ n^2+2)/2(n- m) ;; dari sini jelaslah hanya ada solusi m dan n keduanya ganjil. Anggap m = 2p + 1 dan n = 2q + 1, maka ada solusi k₅ = (p^2+ p+ q^2+ q+1)/(q-p) ;; Dari sini, padahal 8k = (m + n)(2k₅ + m – n) = 4(p + q + 1)(k₅ + p – q) ;; maka 2k = ( p + q + 1)(k₅ + p – q)
Disini ada pola
p q m n K₅ k K₅² c
0 1 1 3 3 2 9 16
1 2,5 3 5,13 9 16 81 576
2 3,15 5 7,31 19 54 361 6048
Dari kasus ini, perhatikan pola k₅ hanya bertambah, 6 – 10 pola k bertambah 14 – 38 dqn c akan semakin besar. Maka tidak mungkin ada d > c.
Kita operasikan yang ada, bahwa k = 16, maka a = 448, b = 513 dan c = 576 maka d = 16 – 448 = -432 = 81 - 513 = 144 - 576 . Benar memenuhi.
Saat k = 54, maka a = 5616 , b = 5833 dan c = 6048. Sehingga d = 144 – 5616 = - 5472 = 361 – 5833 = 576 – 6048
Dari kasus ini terbukti ada solusi bulat quartet a, b, c dan d.
Komentar
Posting Komentar