Garis pada lingkaran dan segitiga.

CONTOH 1 : 

Diketahui segitiga lancip ABC dengan AC > BC dan pusat lingkaran luar ABC adalah O. Tinggi segitiga ABC dari C memotong AB dan lingkaran luarnya di D dan E, masing-masing. Sebuah garis yang melalui O yang sejajar dengan AB memotong AC di F. Tunjukkan bahwa garis CO, garis yang melalui F dan tegak lurus AC, dan garis yang melalui E dan sejajar dengan DO adalah konkuren.

                                                                            (KSNas SMA 2010. D1. P2)

SOLUSI :

Misalkan M adalah titik tengah segmen CA, dan g adalah garis yang sejajar dengan AB dan melalui O (dan F). Misalkan garis yang melalui F dan tegak lurus AC memotong garis CO di T.  Untuk membuktikan pernyataan masalah, kita hanya perlu membuktikan bahwa TE ⏊ OD. 

Karena ∠CDA = 90° dan M adalah titik tengah CA, dengan Teorema Euclidean kita simpulkan bahwa 

∠MDC = ∠MCD

Karena ∠ CDA = 90° dan g sejajar DA, maka g tegak lurus CE. Karena g tegak lurus terhadap CE dan OC = OE adalah jari-jari lingkaran (maka OCE adalah segitiga sama kaki), maka, g adalah garis-bagi tegak lurus CE. Lalu kita memiliki FCE menjadi segitiga sama kaki dengan FC = FE sehingga : 

Manfaatkan ∠MDC = ∠MCD and ∠FEC = ∠FCE, kemudian  kita peroleh △CMD ∼ △CFE, maka MD ∥ FE dan 

Sekarang, sisanya mudah. Kita dapatkan △CMO ∼ △CFT  sehingga 

∠CMD = ∠CFE and ∠CMO = ∠CFT sehingga ∠OMD = ∠TFE.    Juga, MD/FE = MC/FC dan MO/FT = MC/FC sehingga MO/FT = MD/FE. 

Gabungkan hasil ini, kita peroleh △OMD ∼ △TFE. Karena △OMD ∼ △TFE dan MD ∥ FE, Jelaslah TE ⏊ OD.

CONTOH 2 :

Diberikan segitiga lancip ABC, dimana AC > BC. Lingkaran luarnya berpusat di O, misalkan M adalah titik di lingkaran sehingga CM adalah garis bagi ∠ACB. Misalkan R adalah lingkaran lain berdiameter  CM. Garis bagi ∠BOC dan ∠AOC memotong lingkaran R di titik P dan Q, misalkan K adalah titik tengah CM. Buktikan bahwa titik O, P, Q, K T terletak pada satu lingkaran. 

                                                    (OSP SMA 2019. B2. P5)

SOLUSI :

Perhatikan gambar berikut :

Pada gambar, karena O adalah titik Pusat, maka ∠OrC dan ∠OsC siku-siku dan didapat OrCs adalah segiempat tali busur. Juga diketahui ∠OKC juga siku-siku. Sehingga OKCs juga segiempat tali busur. 

Didapatkan ∠sCK = ∠rCK dan ∠KsO = ∠KrO, Padahal, O dan K keduanya pusat lingkaran, maka ∠OKC = 90. sehingga didapat Segiempat talibusur OKCs dan CrKs memenuhi Kr = Ks. Jelas juga bahwa ∠KsP = ∠KrQ pada lingkaran merah, KP = KQ. 

Karena Ks = Kr ,  ∠KsP = ∠KrQ,   KP = KQ,   maka ∆KsP ≌ ∆KrQ. Ini menyebabkan ∠KPO = ∠KQO,

keduanya adalah sudut keliling dari sebuah lingkaran yang menghadap busur sama, yaitu busur KO. Jelas POKQ ada pada satu lingkaran.