Dalam matematika, bilangan 7 termasuk bilangan prima. Karena dia hanya bisa dibagi oleh 1 dan dirinya sendiri.
Lalu, bagaimana jika dia dipakai untuk membagi angka yang besar ?
Bilangan kelipatan 7, dalam matematika terkenal dalam bentuk :
Untuk mengetahui apakah suatu bilangan habis terbagi 7, sisihkan angka satuannya dan kalikan 2 kemudian kurangkan dari bilangan yang tersisa. Kalau bilangan itu habis dibagi 7, maka seluruh bilangan habis dibagi 7.
Contoh Soal 1: Apakah 5236 habis dibagi 7?
Jawab:
5236 habis dibagi 7 kalau 523-2.6 = 511 habis dibagi 7. 511 habis dibagi 7 kalau 51-2.1=49 habis dibagi 7. 49 habis dibagi 7 karena itu 511 habis dibagi 7 dan 5236 juga habis dibagi 7.
Contoh Soal 2: Apakah 25252 habis dibagi 7.?
Jawab:
25252 habis dibagi 7 kalau 2525-2.2=2521 habis dibagi 7. 2521 habis dibagi 7 kalau 252-2.1=250 habis dibagi 7. 250 habis dibagi 7 kalau 25-2.0=25 habis dibagi 7. 25 bukan kelipatan 7 sehingga 250 tidak habis dibagi 7 dan oleh karena itu 2521 tidak habis dibagi 7 dan karena itu 25252 tidak habis dibagi 7.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Bukti Teorema Keterbagian Oleh 7:
Misalkan untuk mempermudah penulisan:
a = (anan-1an-2an-3......a1a0). Contohnya: 123, maka an=1, an-1 = 2, dan a0=3
L = anan-1an-2...a1. Contohnya: 123, maka L=12.
A = L-2a0. Contohnya: 123, maka A=12-6=6.
Teorema ini mencakup istilah 'jika dan hanya jika' sehingga buktinya harus mencakup dua bagian. Pertama harus dibuktikan bahwa jika 7x a maka juga 7x A. Setelah itu harus dibuktikan bahwa jika 7x A maka juga 7x a. Bukti bagian pertama disebut pembuktian ke'perlu'an sedangkan pembuktian bagian kedua disebut pembuktian ke'cukup'an.
Bukti bagian Keperluan:
Artinya harus dibuktikan apabila a mod 7 = 0, maka A mod 7 =0 juga.
Seperti konsep di atas. Nyatakan bahwa: a = 10L+a0 dan A=L-2a0.
Anggap bahwa
a mod 7 =0
(10 L+a0)mod 7 = 0.
(20L+2a0)mod 7 =0. (Jika dikali 2, maka modulo tetap berlaku)
Ingat bahwa (21L) mod 7 = 0, maka:
(21L+2a0-2a0)mod 7 =0
(20L+2a0+L-2a0)mod 7 =0
(20L+2a0)mod 7 + (L-2a0)mod 7 =0
(L-2a0)mod 7 =0. ----Terbukti
Bukti bagian Kecukupan:
Artinya harus dibuktikan apabila A mod 7 = 0, maka a mod 7 =0 juga.
Seperti konsep di atas. Nyatakan bahwa: a = 10L+a0 dan A=L-2a0.
Anggap bahwa:
A mod 7 = 0
(L -2a0) mod 7 =0
(10L-20a0)mod 7 = 0 (Jika dikali 10, maka modulo tetap berlaku)
Ingat bahwa (-21ao)mod 7 =0
(-20a0-a0)mod 7 =0
(10L-10L-20a0-a0)mod 7 =0
(10L-2a0-10L-a0)mod 7 =0
(10L-2a0)mod7-(10L+a0)mod7=0
-(10L+a0)mod7=0
(10L+a0)mod7=0. ----Terbukti
Selanjutnya, keterbagian 7 dalam bentuk Modulo.
m² ≡ { 0, 1, 2, 4} mod 7
m³ ≡ {0, 1, 6} mod 7
m⁴ ≡ {0, 1, 2, 4} mod 7
m⁵ ≡ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} mod 7
m⁶ ≡ {0, 1} mod 7
m⁷ ≡ m mod 7
m⁸ ≡ m² mod 7
m⁶ᵏ⁺ᵃ ≡ mᵃ mod 7
Selanjutnya, keterbagian bentuk aljabar.
CONTOH 1 :
Find all positive integers n ∈ {1,2,3,4, ......., 2009) such that
4n⁶ + n³ + 5
is divisible by 7
SOLUSI :
4n⁶ ≡ 4 mod 7 sehingga 4n⁶ + 5 ≡ 2 mod 7
maka haruslah n³ ≡ 5 mod 7
Jelaslah disini kita tidak punya solusi n³ ≡ 5 mod 7.
Jadi, banyaknya bilangan n adalah 0.
CONTOH 2 :
Find all positive integers n = {x | x ∈ N < 2023} such that
2n¹¹ + 3n⁹ + 4n⁷ + 5n⁵ + 6n³ + 7n + 8
is divisible by $ 7$
SOLUSI :
2n¹¹ + 3n⁹ + 4n⁷ + 5n⁵ + 6n³ + 7n + 8 ≡ 2n⁵ + 3n³ + 4n + 5n⁵ + 6n³ + 1
≡ 2n³ + 4n + 1 ≡ 0 mod 7
Disini, kita bisa simpulkan bahwa 2n(n² + 2) ≡ 6 mod 7
sehingga n(n² + 2) ≡ 3 mod 7.
Dengan demikian didapat,
n(n² + 2) ≡ {0, 3, 5, 5, 2, 2, 4} mod 7
Maka jelaslah n ≡ 1 mod 7
Anggaplah n = 7k + 1, maka bisa juga dikatakan
Bilangan asli < 2023 yang sisa 1 ujika dibagi 7
Bisa kita gunakan fungsi floor yaitu ⌊2022/7⌋ + 1 = 288 + 1 = 289
atau bisa juga menulis : 2023 = 7 x 289. sehingga bilangan n yang memenuhi adalah {1, 8, 15, 22, ......., 2017}. banyaknya ada 289.
===============================
Bilangan 7 digit :
- Habis dibagi k maka banyaknya = ⌊9000000/k⌋
- Sisa a jika dibagi k maka banyaknya = ⌊9.000.000/k⌋ + 1 dimana 0 < a < k.
- Bilangan kuadrat :
- terkecil = 1000² = 1.000.000
- Terbesar = 3162² = 9.998.244
- Banyaknya ada 2163
- Bilangan Kubik :
- terkecil = 100³ = 1.000.000
- Terbesar = 215³ = 9.938.375
- Banyaknya ada 116
- Bilangan Pangkat 4 :
- terkecil = 32⁴ = 1.048.576
- Terbesar = 56⁴ = 9.834.496
- Banyaknya ada 25
- Bilangan Pangkat 5 :
- terkecil = 16⁵ = 1.048.576
- Terbesar = 25⁵ = 9.765.625
- Banyaknya ada 10
- Bilangan Pangkat 6 :
- terkecil = 10⁶ = 1.000.000
- Terbesar = 14⁶ = 7.529.536
- Banyaknya ada 4
- Bilangan Pangkat 7 :
- terkecil = 8⁷ = 2.097.152
- Terbesar = 9⁷ = 4.782.969
- Banyaknya ada 2
- Bilangan Pangkat 8 :
- terkecil = 6⁸ = 1.679.616
- Terbesar = 7⁸ = 5.764.801
- Banyaknya ada 2
- Bilangan Pangkat 9 :
- Hanya ada 5⁹ = 1953125
- Bilangan Pangkat 10 :
- Hanya ada 4¹⁰ = 1048576 dan 5¹⁰ = 9765625
- Bilangan Pangkat 11 :
- Hanya ada 4¹⁰¹ = 4194304
- Bilangan Pangkat 12 :
- Tidak ada
- Bilangan Pangkat > 12 :
- 3¹³ = 1594323 dan 3¹⁴ = 4.782.969
- 2²⁰ = 1.048.576, 2²¹ = 2097152, 2²² = 4194304, dan 2²³ = 8388608
- Bilangan Narsis (Narcissistic Number) : , 9800817, 9926315
1⁷ + 7⁷ + 4⁷ + 1⁷ + 7⁷ + 2⁷ + 5⁷ = 1741725
4⁷ + 2⁷ + 1⁷ + 0⁷ + 8⁷ + 1⁷ + 8⁷ = 4210818
9⁷ + 8⁷ + 0⁷ + 0⁷ + 8⁷ + 1⁷ + 7⁷ = 9800817
9⁷ + 9⁷ + 2⁷ + 6⁷ + 3⁷ + 1⁷ + 5⁷ = 9926315
Demikian itu sedikit dari Rahasia bilangan 7.
Komentar
Posting Komentar