📔 Problem :
Seorang bertanya padamu tentang sebuah bilangan SPESIAL. Yaitu jika semua d dikatakan SPESIAL saat semua bilangan asli dapat di hasilkan dari operasi a² + b² - dc². berlaku untuk sembarang bilangan bulat a,b dan c.
Berapakah bilangan terkecil dari d yang bukan SPESIAL. Lalu apakah benar 2021 juga bukan spesial ?
(KSNas SMA 2017)
📝 Solusi :
Perhatikan bahwa :
a² + b² - d.c² = N
a² + b² = dc² + N
=================================
Theorem 1.a
_"Sebuah bilangan d dikatakan spesial jika memenuhi d = q atau 2q dimana q = 1 dan atau prima bentuk 4m + 1. "_
(A. Nowicki, The numbers a² + b² - dc², Journal Integer Seq. 18 (2015). Univ Waterloo, Canada)
==============================================
BUKTI THEOREMA :
Perhatikan Gauss Theorem.
x² + y² = p
jika dan hanya jika p = 4m + 1 dimana p ∈ prima.
Misalkan a = x.c+ α dan b = yc + β
maka
a² + b² - dc² = (x.c+ α)² + (y.c + β)² - (x² + y²). c²
= c².x² + 2αxc + α² + y²c² + 2ycβ + β² - x²c² - y²c²
= 2αxc + α² + 2ycβ + β²
= 2(xα + yβ) c + α² + β²
Pertimbangan :
bahwa α.x + β.y = 1 memiliki solusi unik α dan β dimana fpb(α,β) = 1.
anggaplah α₁ = α₀ + y dan β₁ = β₀ - x
Maka kita punya solusi :
α₁² + β₁² = (α₀ + y)² + (β₀ - x)²
= α₀² + β₀² + y² + x² + 2(α₀y - β₀x)
≡ α₀² + β₀² + y² + x² (mod 2)
Perhatikan bahwa x² + y² = d (ganjil)
maka α₀² + β₀² haruslah genap.
α₀² + β₀² = genap dan α₁² + β₁² = ganjil.
Maka jelaslah semua bilangan bilangan ganjil dan genap memenuhi bentuk itu. untuk d = prima 4m + 1.
Bagaimana jika d = genap ?
Kita anggap x² + y² = d, maka jelaslah d ≡ 2 mod 4.
kita anggap ada bilangan bulat α dan β sehingga
αx + βy = 2.
Maka kita punya solusi :
α₁² + β₁² = (α₀ + y)² + (β₀ - x)²
≡ α₀² + β₀² + y² + x² + 2(α₀y - β₀x)
≡ α₀² + β₀² + 2 + 2(α₀y - β₀x) (mod 4)
Disini, karena α₀ ≡ β₀ mod 2. Maka jelaslah α₀² + β₀² ≡ 0 (mod 2)
Sehingga α₁² + β₁² ≡ 0 V 2 mod 4.
Sehingga bentuk
d = 4m atau d = 4m + 2 memenuhi permintaan problem ini.
==================================
Jelaslah :
d = 3 tidak memenuhi bilangan *SPESIAL*
Bagaimana jika d = 2021 ?
dia bentuknya 4m + 1.
Anggaplah a² + b² ≡ N mod 2021 = 2021k + N
LEMMA :
Jika m = p₁p₂ maka n² ≡ {0, a₁, a₂,a₃, a₄ , ......, aₖ}
dimana k = m/2. atau k = (m - 1)/2.
Jika kita memilih 2 dari anggota himpunan maka ada segmen yang hilang dimana aₜ + aᵣ = N < m.
Dengan demikian,
2021 bukanlah bilanga SPESIAL.
karena 2021 = 43 x 47.
=======================
Referensi :
Peter Cho - Ho Lam. *Representation of Integers Using a² + b² - dc². Univ. Simon Fraser, Canada. Journal of Integer Sequences, Vol. 18 (2015).
Silahkan unduh file nya disini
❦❖==================❖❦
_"Jika kamu tidak menyadari betapa mudahnya Matematika, itu karna kamu tidak memahami bahwa hidup ini jauh lebih rumit darinya."_
*John Von Neumman (Hungarian Matematican)*
📡 *Presented by :*
GEniUs MaTh
•┈•◎❅❀❦❖🍀💠🍀❖❦❀❅◎•┈•
Komentar
Posting Komentar