LoC & PoP custom : Pembahasan KSN SMA 2021. Geometri : soal 2.

pada tanggal

Pada kesempatan kali ini, kami akan berbagi sedikit mengenai pemanfaatan Hukum Cosinus dalam sebuah segitiga sembarang. 

Apa sih Hukum cosinus itu ? 

Saat SD, kamu pasti tahu hukum Phytagoras disaat ada segitiga siku-siku ABC. 









Naaah, hukum phytagoras ini berlaku untuk kondisi tertentu, yaitu saat salah satu sudutnya siku-siku. Bagaimana jika sudutnya sembarang ? 

Jamshid al Kashi (1380 - 1429 M) seorang Matematikawan Persia yang hidup di Iran, penggagas Segitiga Pascall (sebelum Blaisse Pascall  mengenalkan kepada Dunia Barat), mengenalkan identitas Trigonometri (sebelum Vieta mengenalkan identitas : sin 3θ = 3 sin θ - 4 sin³θ = sin θ (3 - 4 sin ² θ) = sin θ (4 cos² θ - 1) ), dan pemegang Hak Cipta atas Theorema nya "Law of Cosinus" 





Naaah,... salah satu pemanfaatan hukum cosinus ini, kemarin sempat di ujikan oleh pembuat soal KSN SMA Tingkat Nasional tahun 2021. Kira-kira bagaimana ya aplikasinya ? 

Yukksss kita simak bersama.........


Let $ABC$ be an acute triangle. Let $D$ and $E$ be the midpoint of segment $AB$ and $AC$ respectively. Suppose $L_1$ and $L_2$ are circumcircle of triangle $ABC$ and $ADE$ respectively. $CD$ intersects $L_1$ and $L_2$ at $M (M \not= C)$ and $N (N \not= D)$. If $DM = DN$, prove that $\triangle ABC$ is isosceles.


Diberikan ABC adalah segitiga lancip. misalkan D dan E masing-masing adalah titik tengah segmen AB dan AC. Kemudian ada L₁ dan L₂ adalah lingkaran luar segitiga ABC dan ADE. CD memotong lingkaran L₁ dititik M (M ≠ C)  dan memotong lingkaran L₂ dititik N (N ≠ D). Jika diketahui DM = DN, buktikan bahwa ΔABC sama kaki.

(KSNas SMA 2021 No 2) 

SOLUSI : 

Kita bisa gambarkan segitiga sembarang dulu dengan aturan yang sudah ditetapkan oleh penulis. 

Maka saya punya bentuk demikian :



Pada gambar disamping kita punya catatan :

CD × DM = BD × AD 

(m + n) × n = x² 

serta 

CE × AC = CN × CD 

y(2 y)     = m(m + n) 


Ini didapat dari hukum Power of Point dalam sebuah lingkaran. 


Selanjutnya kita gunakan Law of Cosinus :

pada Δ ACD diketahui : 

CD² = AD² + AC² - 2.AD.AC.cos ∠A. 

(m + n)² = x² + (2y)²  - 2.x.(2y) cos ∠A           ........(!) 

perhatikan bahwa dari powet of poin 

x² + 2y² = mn + n² + m² + mn   = (m + n)²               ........  (!!) 

maka ada kesamaan (!) dan (!!)  yaitu : 

x² + 4y² - 2.x.2y cos ∠A   = x² + 2y² 

2y² - 2.x . 2y cos ∠A  = 0 

cos ∠A = 2y² /(2x. 2y)  = y/2x 


Pandang dalam Δ ABC, gunakan hukum Cosinus lagi : 

(BC)² = (AB)² + (AC)² - 2.AB.AC.cos∠A 

z² = (2x)² + (2y)²  - 2. (2x).(2y) cos ∠A 

z² = 4x² + 4y² - 8xy.cos∠A 

    = 4x² + 4y² - 4.y.2x.y/2x 

    = 4x² + 4y² - 4y² 

  = 4x² 


Jelaslah kita punya solusi z = 2x sehingga terpenuhi AB = BC. 


Semoga bermanfaat....!!! :-) :-)









Komentar

Posting Komentar