๐๐❖━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
๐ฅ *HOTS PROBLEM SOLVING* ๐
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━❖๐๐
KAMIS, 11 November 2021
 |
| Fibbonaci Sequence |
PROBLEM :
Sebuah bilangan asli disebut pangkat prima jika bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai Pโฟ untuk beberapa bilangan prima p dan bilangan asli n.
Tentukan kemungkinan terbesar n sehingga terdapat barisan pangkat prima a₁, a₂, a₃, ...., aโ sehingga aแตข = a(i-1) + a(i-2) untuk semua 3 ≤ i ≤ n.
(KSNas SMA 2021. No 3)
SOLUSI :
Perhatikan barisan :
a₃ = a₁ + a₂
Pแต = pแต + pแต
Disini, kita harus melewati sebuah segmen
ganjil + ganjil = genap
dan genap + ganjil = ganjil
genap + genap = genap
Jelas tidak ada segmen 2 suku berurutan genap.
Maka bisa kita tuliskan barisan :
- 1 ge ga ga ge ga ga ge ga ga ge .......
- ga ga ge ga ga ge ga ga ge ga .......
- ga ge ga ga ge ga ga ge ........
Karena pasti memuat salah satu suku genap, jelaslah ada
2แต = pแต + pแต
dengan pola barisan :
p₁แต p₂แต 2แถ p₃แต p₄แต 2แถ p₅แต p₆สฐ 2โฑ
Dari bentuk itu, kita bisa tuliskan
2แถ = p₁แต + p₂แต
p₃แต = p₂แต + 2แถ = 2p₂แต + p₁แต
p₄แต = P₃แต + 2แถ = 3p₂แต + 2p₁แต
2แถ = p₄แต + p₃แต = 5p₂แต + 3p₁แต
dst...
perhatikan barisan fibbonacci
2 3 5 8 13 21 ....... 21 ≠ pแต
jelas hanya ada segmen n = 5
kita bisa tulsikan a₂ = 2
Sehingga p₁แต + 2 = p₂แต
๐ a₁ ≡ 0 mod 3
maka ada barisan :
0 2 2 1 0 1 1 2 0 ...... mod 3
Sehingga ada barisan :
3 2 5 7 12 .... 12 ≠ pแต
9 2 11 13 24 ..... 24 ≠ pแต
bentuk ini bisa dioperasikan
3แต + 2 = a₃
a₃ + 2 = 3แต + 4
a₄ + a₃ = 2. 3แต + 6 = a₅
a₅ = 3แต . 3
Sehingga 6 = 3แต ini jelas tidak mungkin ada.
Didapat n max = 4
๐ a₁ ≡ 1 mod 3
Misalkan p₁แต ≡ 1 mod 3
ada 2 kemungkinan, yaitu p₁ ≡ {1, 2} mod a
Misalkan p₁ ≡ 1 mod 3
jelaslah p₁ ≡ 1 mod 6
Didapat :
p₁แต + 2 = 3แต = a₃
pola ini jelaslah mengulangi kejadian kasus 1
didapat n max = 4 + 2 = 6
๐ a₁ ≡ 2 mod 3
maka ada barisan
2 2 1 0 1
jelaslah a₄ ≡ 0 mod 3 = 3แต
pola ini mengulangi kasus 1.
Didapatn max = 4 + 3 = 7
=================================
Bagaimana jika a₁ = ganjil dan a₂ juga ganjil ?
jelaslah a₃ = 2แต
Disini ada kasus :
๐ 2แต ≡ {1, 2} mod 3
Maka sesuai bentuk barisan, kita punya
0 1 1 2 0 mod 3
0 2 2 1 0 mod 3
1 1 2 0 2 2 1 0 mod 3
1 0 1 1 2 0 mod 3
Sesuai operasi
3แต + 2 = a₃
a₃ + 2 = 3แต + 4
a₄ + a₃ = 2. 3แต + 6 = a₅
a₅ = 3แต . 3
Jelaslah hanya ada barisan n max = 7.
∴ nilai n max yang memenuhi barisan adalah 7.
====================================
CONTOH BARISAN :
Saat pola a₁ ≡ 2 mod 3 ≡ 0 mod 5
Maka a₁ ≡ 5 mod 30
Dengan 30k + 5 = pแดท
5 2 7 9 16 25 41 66
5¹ 2¹ 7¹ 3² 2⁴ 5² 41¹ (3 x 2 x 11)
❦❖==================❖❦
_"Jika kamu tidak menyadari betapa mudahnya Matematika, itu karna kamu tidak memahami bahwa hidup ini jauh lebih rumit darinya."_
*John Von Neumman (Hungarian Matematican)*
๐ก *Presented by :*
GEniUs MaTh
https://chat.whatsapp.com/HPAh6ZyRvCb9E0DShIpYov
•┈•◎❅❀❦❖๐๐ ๐❖❦❀❅◎•┈•
Komentar
Posting Komentar