FIBBONACCI SQUENCE : Pembahasan KSNas SMA 2021

🍃🌏❖━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓

             💥 *HOTS PROBLEM SOLVING* 🎗

 ┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━❖🌏🍃

arrifyussufjr@gmail.com 

KAMIS, 11 November 2021

Fibbonaci Sequence

PROBLEM : 

Sebuah bilangan asli disebut pangkat prima jika bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai Pⁿ  untuk beberapa bilangan prima p dan bilangan asli n. 

Tentukan kemungkinan terbesar n sehingga terdapat barisan pangkat prima a₁, a₂, a₃, ...., aₙ  sehingga aᵢ = a(i-1) + a(i-2) untuk semua 3 ≤ i ≤ n.

(KSNas SMA 2021. No 3)

SOLUSI : 

Perhatikan barisan :

a₃ = a₁ + a₂ 

Pᵏ = pᵐ + pᵗ

Disini, kita harus melewati sebuah segmen

ganjil + ganjil = genap

dan genap + ganjil = ganjil

genap + genap = genap

Jelas tidak ada segmen 2 suku berurutan genap. 

Maka bisa kita tuliskan barisan :

• 1 ge   ga    ga    ge   ga   ga   ge   ga  ga  ge   ....... 
• ga   ga    ge    ga   ga   ge   ga   ga  ge  ga  .......
• ga   ge    ga    ga   ge   ga   ga  ge ........

Karena pasti memuat salah satu suku genap, jelaslah ada 

2ᵏ  = pᵐ + pᵗ

dengan pola barisan :

p₁ᵃ   p₂ᵇ  2ᶜ   p₃ᵈ  p₄ᵉ   2ᶠ   p₅ᵍ  p₆ʰ  2ⁱ

Dari bentuk itu, kita bisa tuliskan 

2ᶜ  = p₁ᵃ + p₂ᵇ

p₃ᵈ  = p₂ᵇ + 2ᶜ  = 2p₂ᵇ + p₁ᵃ

p₄ᵉ  = P₃ᵈ + 2ᶜ  = 3p₂ᵇ + 2p₁ᵃ

2ᶠ  = p₄ᵉ + p₃ᵈ = 5p₂ᵇ + 3p₁ᵃ

dst...

perhatikan barisan fibbonacci

2 3 5 8 13 21 .......  21 ≠ pᵏ

jelas hanya ada segmen n = 5

kita bisa tulsikan  a₂ = 2

Sehingga p₁ᵃ + 2 = p₂ᵇ

📌  a₁ ≡ 0 mod 3

maka ada barisan :

0    2    2    1    0    1   1   2   0   ...... mod 3

Sehingga ada barisan :

3   2   5    7    12   .... 12 ≠ pᵏ

9   2   11  13   24   ..... 24 ≠  pᵏ

bentuk ini bisa dioperasikan 

3ᵐ  + 2  = a₃

a₃ + 2  =  3ᵐ + 4

a₄ + a₃  = 2. 3ᵐ + 6    = a₅

a₅  = 3ᵐ . 3

Sehingga  6  = 3ᵐ   ini jelas tidak mungkin ada. 

Didapat n max = 4

📌  a₁ ≡ 1  mod 3

Misalkan p₁ᵃ ≡ 1  mod 3

ada 2 kemungkinan, yaitu p₁ ≡ {1, 2} mod a

Misalkan p₁ ≡ 1 mod 3

jelaslah p₁ ≡ 1 mod 6

Didapat :

p₁ᵃ + 2 = 3ᵏ  = a₃

pola ini jelaslah mengulangi kejadian kasus 1

didapat n max = 4 + 2 = 6

📌 a₁ ≡ 2 mod 3

maka ada barisan 

2  2  1   0   1   

jelaslah a₄ ≡ 0 mod 3  = 3ᵏ  

pola ini mengulangi kasus 1. 

Didapatn max = 4 + 3 = 7

=================================

Bagaimana jika  a₁ = ganjil  dan a₂  juga ganjil ?

jelaslah a₃ = 2ᵏ

Disini ada kasus  :

📌 2ᵏ ≡ {1, 2} mod 3

Maka sesuai bentuk barisan, kita punya  

0   1   1   2   0   mod 3

0   2    2   1  0   mod 3

1   1    2   0  2  2   1   0    mod 3

1   0    1   1  2   0   mod 3

Sesuai operasi 

3ᵐ  + 2  = a₃

a₃ + 2  =  3ᵐ + 4

a₄ + a₃  = 2. 3ᵐ + 6    = a₅

a₅  = 3ᵐ . 3

Jelaslah hanya ada barisan n max  = 7. 

∴ nilai n max yang memenuhi barisan adalah 7. 

====================================

CONTOH BARISAN :

Saat pola a₁ ≡ 2 mod 3 ≡ 0 mod 5

 Maka a₁ ≡ 5 mod 30

Dengan 30k + 5 = pᴷ

5   2   7   9   16   25   41   66

5¹     2¹    7¹    3²     2⁴        5²        41¹     (3 x 2 x 11)  

❦❖==================❖❦

_"Jika kamu tidak menyadari betapa mudahnya Matematika, itu karna kamu tidak memahami bahwa hidup ini jauh lebih rumit darinya."_

*John Von Neumman (Hungarian Matematican)*

📡 *Presented by :*

GEniUs MaTh

https://chat.whatsapp.com/HPAh6ZyRvCb9E0DShIpYov

•┈•◎❅❀❦❖🍀💠🍀❖❦❀❅◎•┈•