AM - GM. Apa siih ??
Pembahasan AM - GM tentu familiar buat temen-temen semua, dimana sering keluar di Pertidaksamaan Linear. Kita bisa lihat operasi sederhana :
Ini mengartikan bahwa √[(a²+b²)/2] ≥ (a + b)/2
Sehingga (a² + b²)/2 ≥ (a + b)²/4
Selanjutnya, kita bisa operasikan 3 variabel.
√[ (a² + b² + c²)/3] ≥ (a + b + c)/3
sehingga : (a² + b² + c²)/3 ≥ (a + b + c)²/9
(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)²/3
3 (a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)²
jelaslah 3 ≥ (a + b + c)²/(a² + b² + c²)
Selanjutnya kita punya bentuk ketaksamaan :
(a² + b² + c²) (a + b + c) ≥ (a.√a + b√b + c√c)²
Bentuk ketaksamaan diatas dikenal dengan Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (CS Engel) yang dipopulerkan oleh Arthur Engel, (Seorang matematikawan Jerman) ketaksamaan ini dikenal juga dengan "Lemma Titu" atau "Lemma Andreescu". merujuk ke Titu Andreescu (Matematikawan Amerika - Hungaria, Tim Pelatih IMO Amerika).
Salah satu pemanfaatannya adalah seperti di berikan di soal USAMO 2003.
Dimana kita diminta membuktikan bahwa :
masalah ini bisa dipandang dengan menormalkan persamaan :
(a + b + c)/3 = 1. Sehingga a + b + c = 3
Sehingga kita bisa pandang dalam kesamaan saat a = b = c = 1.
maka
(2a + b + c)²/(2a² + (b + c)²) = 4²/(2 + 4) = 16/6 = 8/3
maka jelaslah jumlah ketiga persamaan = 3 x 8/3 = 8.
Atau katakanlah kita punya bentuk :
a = b = c
sehingga (2a + b + c)²/(2a² + (b + c)²) = (a + a + b + c)²/(2a² + (3 - a)²)
= (a + 3)²/(2a² + 9 - 6a + a²)
= (a² + 6a + 9)/3(a² - 2a + 3)
= ¹/₃ x (a² - 2a + 3 + 8a + 6)/(a² - 2a + 3)
= ¹/₃ x [ 1 + [ 8a + 6]/(a-3)(a+1) ]
Notasi ini nanti akan bisa kita pakai dalam Sum of Cyclic
Sehingga semua penjumlahan untuk a ≠ b ≠ c menghasilkan angka yang < 8.
Sebagai contoh :
a = 1, b = 2, c = 3.
maka : (2a + b + c)²/(2a² + (b + c)²) = (2.1 + 2 + 3)²/(2.1² + (2 + 3)²)
= (7)²/(2+25) = 49/(27)
(2b + a + c)²/(2b² + (a + c)²) = (2.2 + 1 + 3)²/(2.2² + (1+3)²)
= (8)² /(8+16) = 64/(24) = 8/3
(2c + b + a)²/(2c² + (b + a)²) = (2.3 + 1 + 2)²/(2.3² + (1+2)²)
= (8)²/(18+9) = 64/27
Jumlahkan : didapat (64 + 72 + 49)/27 = 185/27 = 6 ²³/₂₇
Problem ini juga telah dikembangkan lebih lanjut, sehingga pastilah
4 ≤ (2a + b + c)²/(2a² + (b + c)²) + (2b + a + c)²/(2b² + (a + c)²) + (2c + b + a)²/(2c² + (b + a)²) ≤ 8.
Naaah, dari pandangan ini, kita bisa kembangkan lebih lanjut.......
Let x, y and z be positive reals such that x + y + z = 3. Prove that
(KSNas SMA 2021)
SOLUSI :
Perhatikan bahwa √(y.1) ≤ (y + 1)/2
maka √(x + √y) ≤ √(x + (y + 1)/2)
√(y + √z) ≤ √(y + (z + 1)/2)
sehingga
Σ 2 √(x + √y) ≤ Σ √(x + (y + 1)/2) + √(y + (z + 1)/2)
Anggaplah √(x + (y + 1)/2) = √a
dan √(y + (z + 1)/2) = √b
Dengan ketaksamaan : (√a + √b) ≤ √(2(a + b))
Sehingga :
Σ 2 √(x + √y) ≤ Σ √(x + (y + 1)/2) + √(y + (z + 1)/2)
≤ Σ √(2 (x + (y+1)/2 + y + (z + 1)/2)
= Σ √(2 (x + y) + (y + z + 2)
padahal kita punya x + y + z = 3.
Maka x + y = 3 - z
sehingga √(2 (3 - z) + (y + z + 2)) = √(6 - 2z + y + z + 2)
= √(8 + y - z)
Dari sinilah operasi penjunlahan siklis berlaku.
Σ 2 √(x + √y) ≤ Σ √(8 + y - z)
atau benar bahwa :
Semoga bermanfaat...... :-) :-)
Komentar
Posting Komentar