Wilson - Waring - Langrange Theorem

pada tanggal

Hallo adik-adik...

Pernah kan kamu lihat operasi matematika n!  ?   
artinya apa sih ?? did you know ??

        Kita akan membahas sedikit disini tentang faktorial. ya,....dalam matematika ada operasi matematika yaitu n! yang berarti kita harus melakukan operasi perkalian berurut, yaitu 1 x 2 x 3 x 4 x ...... x (n - 3) x (n - 2) x (n - 1) x n. Operasi ini biasanya digunakan dalam bab Kombinatorika, yaitu disaat kita akan melakukan pencarian banyak kejadian. Akan tetapi, dalam dunia Teori Bilangan, pembahasan mengenai Faktorial ini juuga menjadi santapan yang asik. Terkhusus ang paling terkenal adalah Teorema Wilson. 

    Seorang bernama Edwards Waring (Profesor Matematika Lucasian), menyatakan kepada para Matematikawan Dunia, mengenai ide ini. yaitu bahwa  :

"Setiap bilangan prima p, maka 1 x 2 x 3 x ...... x (p - 2) x (p -1) = p . k + (p - 1)."

    Jika seandainya tidak ada identitas ini, misalkan kamu di minta m\ennyelesaikan masalah berikut : 

    Tentukan sisa pembagian dari 12! jika dibagi 13 .

Tentunya kita bisa menghitungnya dengan menggunakan kalkulator. Bagaimana dengan 70! dibagi 71 ?????

Tentunya kalkulator bisa tidak cukup untuk menghitungnya.  Lalu apakah kita akan menghitungnya manal ?? yaelaah,.. gimana kalo misalkan lebih besar lagi, yaitu 2026! jika dibagi oleh 2027 ?

Tahun 1771, Joseph Lagrange membuktikan teorema ini, yang selanjutnya dikenal sebagai teorema Wilson. Teorema Wilson mengatakan 

Jika  adalah bilangan prima, maka  


Buktinya ?
Coba saja kita lihat :
4! = 24 = 5k + 4    bisa ditulis 4! ≡ 4 mod 5
6! = 3! x 4 x 5 x 6 = 6 x 6 x 20  = 36 x 20 = (7k + 1)(7k + 6) = 7k + 6  bisa ditulis 6! ≡ 6 mod 7
10!     = 1 x 2 x 6 x 3 x 4 x 5 x 7 x 8 x 9 x 10
          = 12 x 12 x 35 x 8 x 9 x 10
          = (11 + 1)(11 + 1) x (11k + 2)8 x 9 x 10
          = 11 k + 1 x 1 x 16 x 9 x 10
          = 11 k +   1 x 5 x 90
          = 11k + 5 x 2 
          = 11k + 10   
sehingga 10! ≡ 10 mod 11

Bagimana jika angkanya besar ??? mari kita lihat sedikit pembuktiannya.


BUKTI TEOREMA WILSON:
Untuk , maka  adalah benar. Jadi, teorema itu benar untuk .

Sekarang, asumsikan  adalah bilangan prima yang lebih besar 2.
Dari bilangan 1,2,3,4,5,..., (p-2), (p-1), bilangan yang memiliki invers modulo p terhadap dirinya sendiri HANYA  dan .


Kita tahu bahwa  memiliki invers modulo dirinya sendiri, karena .
 memiliki invers modulo dirinya sendiri, karena
.

Lalu bagaimana dengan bilangan selain  dan .
Seandainya  adalah sembarang integer yang mempunyai invers modulo terhadap dirinya sendiri dan , maka kondisi ini harus berlaku:





Kondisi ini ternyata berkontradiksi dengan pernyataan awal bahwa . Jadi, bilangan  dalam  selalu mempunyai pasangan invers modulo dengan bilangan yang lainnya.

Selanjutnya, kita dapat melakukan grouping sbb:

_______
_______
Jadi, teorema Wilson pun TERBUKTI.


Disini, kita bisa menggunakan identitas ini untuk mengembangkan lebih lanjut yaituu :

  • Jika p adalah prima, maka (p - 2) ! ≡ 1  mod p. 
          Buktinya ? 

(p - 1)! = (P -2)! (P -1) = P.k + (p - 1) 

(p - 2)! = Pk + (P-1)/(P-1)   = Pk + 1 

  • (p -3)! ≡ (p -1)/2  mod p

Buktinya ? 

(p - 2)! = (p -3) ! (p - 2)  

(p - 3)! = (p.k + 1 )/(p -2)   = [ (p-2)k + 2k + 1 ] /  (P - 2)

                      = P.m + k + 1        dimana k = (p + 1 - 2) 



  • a









Komentar

Posting Komentar