KSNas SMA 2019 : Hari 2 soal nomer 3

 🍃🌏❖━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓

             💥 *HOTS PROBLEM SOLVING* 🎗

 ┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━❖🌏🍃

arrifyussufjr@gmail.com 

📔 Problem :

Sekelompok Pemuda, terdiri dari Ki Sarmidi Mangunsarkoro, Muh. Yamin, Soegondo Djoyopuspito,  Amir Syarifudin, Joko Marsaid dan WR Supratman tengah duduk melingkar di sebuah meja bundar  tepat pagi hari : Kamis Wage, 28 Oktober 1928. Mereka tengah menghadiri pertemuan untuk mensukseskan gagasan Soegondo perihal Kongres Pemuda. Muh Yamin, memberikan ide untuk mengucap SUMPAH PEMUDA*, sedangkan WR Supratman usul untuk menyanyikan lagu *Indonesia Raya* untuk pertama kalinya. Kejadian tidak disangka-sangka, bahwa Ki Samidi yg peduli pada pendidikkan, dia membawa catatan yg dikirimkan oleh *Dr. Sam Ratulangi* seorang Doktor Matematika dan Matematikawan Indonesia awal. Dr Sam menulis :

"Duhai kawan-kawan ku yang masih muda-muda, aku mengharap bantuan kecemerlangan ide kalian untuk membantuku menemukan solusi atas permasalahanku, aku mengenalnya sebagai *Diophantine Equation*, dimana aku harus menemukan solusi :

x + y²  = pᵐ

x² + y  = pⁿ

_dikata berlaku untuk bilangan asli x, y, m, n dan bilangan prima p._

_Apakah kawan-kawan ada ide membantuku ?"

*(KSNas SMA 2019)* 

📝 *Solusi :*

📌 Kasus 1 :

Jika P genap,

Jelaslah x dan y ganjil.   Maka kita bisa tulis :

(2a + 1) + 4b²+4b+1  = 2ᵐ

a + 2b² + 2b + 1          = 2ᵐ

Jelaslah ada solusi a = b = 0, maka m = 0. dan ini bukan solusi m asli.

sehingga bisa jadi b = 0.

maka a = 2ᵐ - 1

padahal :

4a² + 4a + 1 + 2b + 1   = 2ⁿ

disini ada solusi (2a + 1)² + 1 = 2ⁿ 

Jika n ganjil, haruslah (2a + 1)² prima. Dan ini bukan solusi. 

Jika n genap, maka haruslah (2a + 1)² habis dibagi 3. anggaplah 2a + 1 = 3k, maka 

9k²  + 1  = 2²ʳ

dan tidak ada solusi lain kecuali k² = 1/3. 

Dari sini, kita bisa tuliskan bahwa, untuk p = 2.

x² + y  = 2ᵐ   dan x + y²  = 2ⁿ

4a² + 4a + 1 + 2b + 1  = 2ᵐ

4a² + 4a + 2(b + 1)     = 2ᵐ

padahal 2ᵐ untuk m > 1 maka 4 | 2ᵐ

sehingga b haruslah ganjil.

anggap b = 2c + 1

maka 4(a² + a + c + 1)  = 2ᵐ

Kemudian.

2a + 1 + (2(2c + 1) + 1)²  = 2ⁿ

2a + 1 + (4c + 3)²    = 2ⁿ

2a + 1 + 16c² + 24c + 9  = 2ⁿ

2(a + 5 + 8c² + 12c)    = 2ⁿ

 

Dari kedua bentuk, tidak mungkin a = c = 0.

Solusi berakhir saat a ≥ c ≥ 1.

kita hanya ada solusi bahwa a = b = 0.

Sehingga x = 1 dan y = 1, serta m = n = 1

Didapat pasangan (x,y, m, n, p) = (1,1,1,1,2)

📌 Kasus 2 :

Jika P ganjil. 

Maka haruslah x atau y = genap.

4a² + 2b + 1   = pⁿ

2a  + 4b² + 4b + 1  = pᵐ

Jika m = n, maka 4a² + 2b + 1  = 2a  + 4b² + 4b + 1  

maka 2a(2a -1)  = 2b (2b + 1)

a (2a - 1)   = b (2b + 1) 

Tidak ada solusi kecuali a = b = 0. sehingga x² + y = x + y² = 1

sehingga m = n = 0. Disini bukan solusi. 

Selanjutnya :

kita anggap m < n sehingga (x + y²) | (x² + y)

(x + y²) | (x² + y) - (x + y²)(x- y²)

              = y + y⁴

sehingga (x + y²) | y(y³ + 1) 

Jika x = y,  maka y (y + 1) | y(y³ + 1)    

sehingga y(y +1)(y² - y +1)/(y(y+1))   = y² - y + 1   

Bentuk ini harus menghasilkan 2ᵏ  dimana k ≥ 1. 

Jelas tidak mungkin, karena y² - y + 1   = ganjil. 

Selanjutnya, berarti x ≠ y. 

ini mengartikan bahwa fpb(x,y) = 1.

Sehingga fpb(x + y², y) = 1

dengan demikian (x + y²) | (y³ + 1)

(x + y²)  |  (y + 1)(y² + 1 - y) 

perhatikan bahwa 

fpb (y + 1, y² - y + 1)  = fpb (y + 1, (y+1)² - (y² - y + 1))

          = fpb (y + 1, y² + 2y + 1 - y² + y - 1)

          = fpb (y + 1, 3y)

karena fpb (x + y², 3) = fpb (pᵐ, 3) 

maka ada 2 kasus, yaitu 

p = 3.   dan p ≠ 3.

x + y²  = pᵐ

x² + y  = pⁿ

maka pᵐ | pⁿ   = x² + y 

pᵐ | (x² + y) - (x + y²)   = x² - x + y - y²

          = x² - y² - (x - y) 

          = (x - y)(x + y - 1)

karena pⁿ > pᵐ

Sedangkan pⁿ = x² + y > (x + y - 1) > (x - y)   

maka jelas hanya ada sokusi 

p | (x - y)   atau p | (x + y - 1) 

Didapat x + y ≡ 1 mod p  sehingga x ≡ (1 - y) mod p

padahal x - y ≡ 0  mod p sehingga x ≡ y  mod p

didapat x ≡ (1 - x)  mod p  

sehingga x, y ≡ (p + 1)/2    mod p

Substitusikan :

x + y²  = (p + 1)/2  + ((p+1)/2)²    mod p

         = (2p + 2)/4 + (p² + 2p + 1)/4   mod p

         = (p² + 4p + 3)/4   mod p

         = (p + 1)(p+3)/4   mod p

karena (p + 1), (p+1)/2, (p+1)/4   tidak habis dibagi p.

Maka p | (p+3), (p+3)/2, atau (p+3)/4  

sehingga pk = p + 3   atau 2pk = p + 3   atau 4pk = p + 3

dari ketiga pilihan itu semuanya p | 3.

jelaslah hanya ada solusi p = 3.

Kemudian. 

x + y² = 3ᵐ

x² + y = 3ⁿ

hanya ada solusi jika x ≡ y ≡ 2 mod 3

x = 3ᵐ - y²    ->  x² = (3ᵐ)² - 2.3ᵐ.y² + y⁴

x² = 3ⁿ - y  

sehingga 3ⁿ - y = 9ᵐ - 2.3ᵐ.y² + y⁴

3ⁿ - 9ᵐ + 2.3ᵐ.y² = y(y³ + 1)

karena 3ⁿ - 9ᵐ + 2.3ᵐ.y²  habis dibagi 3ᵐ

maka y(y³ + 1) habis dibagi 3ᵐ

karena y ≡ 2 mod 3

taruhlah y = 3b - 1

(3b - 1)((3b - 1 +1)((3b - 1)² - 3b + 1 + 1) ≡ 0 mod 3ᵐ

maka 

(3b)(9b² - 9b + 3)  ≡ 0 mod 3ᵐ

b(3b² - 3b + 1)  ≡ 0 mod 3ᵐ⁻²

kemudian juga jelas bahwa b ≡ 0 mod 3ᵐ⁻²

3b ≡ 0 mod 3ᵐ⁻¹

akibatnya y + 1 ≥ 3ᵐ⁻¹  dan y ≥ 3ᵐ⁻¹  

Padahal 

x + y² = 3ᵐ 

maka y² = 3ᵐ - x 

dimana y² ≥ (3ᵐ⁻¹ - 1)²  

sedangkan 3ᵐ - x < 3ᵐ

Akibatnya :

9ᵐ⁻¹ - 2.3ᵐ⁻¹ + 1  < 3ᵐ

9ᵐ⁻¹ + 1         < 3ᵐ.3/3 + 2.3ᵐ/3  

9ᵐ⁻¹ + 1         < 5.3ᵐ⁻¹

9ᵐ/9  + 9/9  < 5.3ᵐ/3

9ᵐ + 9            < 5.3ᵐ.3

9(9ᵐ⁻¹ + 1)/3ᵐ⁺¹   < 5

3ᵐ⁻²  < 5

akibatnya m = {1,2,3}

Jika m = 1

maka x + y² = 3   ;  x² + y  = 3ⁿ 

ada solusi x = 3, y = 0p

adahal semuanya harus asli.

Jika m = 2, maka 

x + y² = 9  dan x² + y = 3ⁿ

x = 5, y = 2  sehingga 3ⁿ = 27  = 3³

Jika m = 3

Maka x + y² = 2 + 5²  = 27

maka x² + y = 9

📌 KESIMPULAN :

pasangan (x,y,m,n,p) = 

{(1,1,1,1,2),  (2, 5, 3, 2, 3),  (5, 2, 2, 3, 3)  } 

❦❖==================❖❦

_"Jika kamu tidak menyadari betapa mudahnya Matematika, itu karna kamu tidak memahami bahwa hidup ini jauh lebih rumit darinya."_

*John Von Neumman (Hungarian Matematican)*

📡 *Presented by :*

GEniUs MaTh

https://chat.whatsapp.com/HPAh6ZyRvCb9E0DShIpYov

•┈•◎❅❀❦❖🍀💠🍀❖❦❀❅◎•┈•