SOAL :
PEMBAHASAN :
1). Jawaban : 2940
Solusi :
Ada 2 kasus utama, yaitu :
Ada 1 anak dapat 2 buku, dan 2 lainnya mendapat 3 buku.
Karena ada pilihan 3 anak yang mendapat 2 buku, maka kasus ini bisa ditulis :
3 (₈C₂ x ₆C₃) = 3 x 28 x 20 = 1680
Ada 1 anak mendapat 4 buku dan 2 lainnya masing² mendapat 2 buku.
Karena ada pilihan 3 anak yg mendapat 4 buku, maka bisa ditulis
3 (₈C₄ x ₄C₂) = 3 x 70 x 6 = 1260
Total kejadian = 1680 + 1260 = 2940
==================================
ALTERNATIF 2 :
Misalkan ketiga orang itu ditulis K₁ K₂ K₂
K₁ K₂ K₃
A B C * * * * * Perhatikan K₂, dia diminta memilih 2 dari 6, maka banyaknya ₆C₂ = 15.
K₁ K₂ K₃
A B C * * * * * Kotak K₂ diminta memilih 3 dari 6, banyaknya ada 20.
K₁ K₂ K₃
A B C * * * * * kotak K₂ diminta memilih 4 dari 6, banyaknya ₆C₄ = 15
Jika dimainkan dengan K₁, maka dia diminta memilih 2 dari 8, maka banyaknya ₈C₂ = 28. Total kejadian = 28 x 50 = 1400
K₁ K₂ K₃
A B C D * * * * kotak K₂ diminta memilih 2 dari 5, banyaknya ₅C₂ = 10
K₁ K₂ K₃
A B C D * * * * Kotak K₂ diminta memilih 3 dari 5, banyaknya ada 10
Jika dimainkan dengan K₁, maka dia diminta memilih 3 dari 8, maka banyaknya ₈C₃ = 56. Total Kejadian = 20 x 56 = 1120
K₁ K₂ K₃
A B C D E * * * kotak K₂ diminta memilih 2 dari 4, banyaknya ₄C₂ = 6
Jika dimainkan dengan K₁, maka dia diminta memilih 4 dari 8, maka banyaknya ₈C₄ = 70. Total Kejadian = 70 x 6 = 420
Jadi, banyak ya kejadian total = 1400 + 1120 + 420 = 2940
==================================
2). Jawaban : 88
Solusi :
perhatikan bahwa :
titik H, G, F, E masing² titik tengah masing² ruas garis.
Maka a = h, b = c, d = e, dan f = g
sehingga didapat persamaan
a + g = 75, g + e = 72 dan e + c = 85
maka a + 2g + 2e + c = 232
sehingga a + c = 232 – 144 = 88
karena b = c, maka a + b = 88.
3). Jawaban : 5
Solusi :
Kita bisa tuliskan :
Jika x ≡ 0 mod 6, maka c ≡ 0 mod 6. Jelas c = 6.
Sehingga persamaan P(x) = ax² + bx + 6
Perhatikan x (ax + b) ≡ 0 mod 6.
• Kemungkinan 1, yaitu ax + b ≡ 0 mod 6 untuk x ≡ {1, 2, 3, 4, 5} mod 6
Untuk a + b ≡ 0 mod 6, ada solusi { (1,5), (2,4), (3,3), (3,9), (4,2), (4,8), (5,1), (5,7), (6,6), (7, 5), (8,4), (9,3), (9,9), (10, 2), (10,8) }
Untuk 2a + b ≡ 0 mod 6, maka ada solusi (a,b) = {(1, 4), (1,10), (2, 2), (2,8), (3,6), (4, 4), (4,10), (5, 2), (5, 8), (6,6), (7,4), (7,10), (8,2), (8,8), (9,6), (10,4), (10,10)
Untuk 3a + b ≡ 0 mod 6 maka ada solusi (a,b) = {(1,3), (1,9), (2,6), (3,3), (3,9), (4,6), (5,3), (5,9), (6,6), (7,3), (7,9), (8,6), (9,3), (9,9), (10,6) }
Untuk 4a + b ≡ 0 mod 6, maka ada solusi (a,b) = {(1,2), (1,8), (2,4), (2,10), (3,6), (4,2), (4,8), (5,4), (5,10), (6,6), (7,2), (7,8), (8,4), (8,10), (9,6), (10,2), (10,8) }
Untuk 5a + b ≡ 0 mod 6, maka ada solusi (a,b) = {(1, 1), (1,7), (2,2), (2,8), (3,3), (3,9), (4,4), (4,10), (5,5), (6,6), (7,1), (7,7), (8,2), (8,8), (9,3), (9,9), (10,4), (10,10) }
• Kemungkinan kedua yaitu ax + b ≡ n mod 6.
Jika x ≡ 1 mod 6, maka a + b ≡ 0 mod 6, ada solusi { (1,5), (2,4), (3,3), (3,9), (4,2), (4,8), (5,1), (5,7), (6,6), (7, 5), (8,4), (9,3), (9,9), (10, 2), (10,8) }
Jika x ≡ 2 mod 6, maka 2a + b ≡ 3 mod 6 ada solusi (a,b) = { (1, 1), (1,7), (2,5), (3,3), (3,9), (4,1), (4, 7), (5, 5), (6, 6), (7,1), (7,7), (8, 5), (9,3), (9,9), (10,1), (10,7) }
Jika x ≡ 3 mod 6, maka 3a + b ≡ 2 mod 6, hanya ada solusi (a,b) = {(1,5), (2,2), (2,8), (3,4), (4,2), (4,8), (5,4), (6,2), (6,8), (7, 5), (8, 2), (8, 8), (9,4), (10,2), (10,8) }
Jika x ≡ 4 mod 6, maka 4a + b ≡ 3 mod 6 sehingga ada solusi (a,b) = {(1,5), (2,1), (2,7), (3,3), (3,9), (4,5), (5,3), (5,9), (6,6), (7,5), (8,1), (8,7), (9,3), (9,9), (10,5)}
Jika x ≡ 5 mod 6, maka 5a + 3 ≡ 0 mod 6 (Lihat kasus 1)
Dari kejadian ini didapat (a,b,c) = (a, b, 6)
Maka ada kemungkinan : (a, b) = { (6,6), (3,3), (3,9),(9,3),(9,9) }
Sehingga banyaknya ada 5 pasangan
==================================
ALTERNATIF 2 :
Kita pasti tahu, c = 6
Lalu ada beberapa kemungkinan :
Jika a ≡ b mod 6, maka x (ax + a) ≡ 0 mod 6 sehingga ax (x + 1) ≡ 0 mod 6, terjadi saat a ≡ 3 mod 6, maka a = {3, 9}
Jika a ≡ b + 1 mod 6, maka x(bx + b + x) ≡ 0 mod 6 tidak perbah terjadi.
Jika a ≡ b + 2 mod 6, tidak pernah terjadi
Jika a ≡ b + k mod 6, maka x(bx + b + kx) ≡ 0 mod 6 terjadi saat k ≡ 0 mod 6
Dari bentuk ini, kita dapatkan pasangan (a,b) = {(3,3), (3,9), (6,6), (9,3), (9,9) }
∴ Banyaknya pasangan ada 5.
==================================
ALTERNATIF 3 :
Kita pasti tahu, c = 6
Lalu kita selesaikan bentuk 6 | ax² + bx
6 | 25a + 5b - (a + b) maka 6 | 24a + 4b = 4(6a + b) jelas hanya ada solusi 4b ≡ 0 mod 6, maka b = {3, 9}
Σ₁⁴ ax² + bx = (1 + 4 + 9 + 16)a + (1 + 2 + 3 + 4)b = 30a + 10b
Maka jelas 6 | 30a + 10b – (25a + 5b) = 5a + 5b
Lalu ada 6 | 25a + 5b – 6(4a + b) = a – b
Sehingga kita punya solusi 6 | (a + b) + (a – b) = 2a dengan demikian a ≡ 3 mod 6 atau 0 mod 6, didapat a = {3, 6, 9)
Atau ada solusi 6 | (a + b) – (a – b) = 2b sehingga b ≡ 3 mod 6 atau 0 mod 6
Dengan demikian didapat (a,b) = {(3,3), (3,9), (6,6), (9,3), (9,9)}, n (a,b,c) = 5 pasangan.
==================================
4). Jawaban : {(1, 0), (0,1), ((-1 ± √5)/2,(-1 ± √5)/2 )}
Solusi :
Misalkan x² + y = m dan y² + x = n
Sehingga persamaan menjadi (m + 1)(n + 1) = 4 dan m² + n² = 2
Didapat (mn + m + n + 1) = 2 (m² + n²)
Sehingga 2m² + 2n² = mn + m + n + 1
Atau juga bisa kita ubah bentuk ke : mn + m + n = 3
Kita operasikan agar bentuknya menjadi :
(a – b)² + (a – 1)² + (b – 1)² = 0
Karena bentuk kuadrat pasti positif,
Maka (a – b) = 0, a – 1 = 0, dan b – 1 = 0
CARANYA ?
2(m² + n²) - 2(mn + m + n) = 4 – 6 = - 2
2m² + 2n² - 2mn – 2m – 2n + 2 = 0
m² - 2mn + n² + m² - 2m + 1 + n² - 2n + 1 = 0
(m – n)² + (m – 1)² + (n – 1)² = 0
Sehingga ada solusi :
m = n = 1 didapat x² + y = y² + x = 1
(1 – y²)² + y = 1
1 – 2y² + y⁴ + y = 1
y⁴ - 2y² + y = 0
y (y³ - 2y + 1) = 0
y (y³ - y² + y² - y – y + 1) = 0
y (y – 1)(y² + y – 1) = 0
Didapat y = {0, 1, (-1 ± √5)/2) ini berlaku untuk x juga.
Pasangan nya adalah (x,y) = {(0,1),(1,0), ((-1 ± √5)/2,(-1 ± √5)/2 )}
==================================
ALTERNATIF 2 :
Kita misalkan x² + y = m dan y² + x = n
Sehingga didapat mn + m + n = 3
Dan m² + n² = 2
(m + n)² - 2mn = (m + n)² - 2(3 – (m + n)) = (m + n)² - 6 + 2(m + n) = 2
Anggap m + n = a
Maka a² + 2a – 8 = 0 didapat a = (-2 ± √(4 + 32))/2 = (-2 ± 6)/2 sehingga m + n = - 4 atau 2.
Jika m+n = - 4, maka mn = 7 sehingga ada solusi m(- m – 4) = 7 ; m = (4 ± √(16 - 28))/2 didapat = imajiner.
Jika m + n = 2, maka mn = 1 sehingga ada solusi m(2 – m) = 1 ; m = (-2 ± √(4 ± √(4 – 4))/2 = 1
Selanjutnya kita operasikan y² + x = x² + y = 1
Maka didapat (x, y) = { (1,0), (0,1), ( (-1 ± √5)/2,(-1 ± √5)/2 )}
==================================
ALTERNATIF 3 :
Karena m² + n² = (m + n)² – 2mn = (3 – mn)² - 2mn = 2
Maka (mn)² - 6mn – 2mn + 7 = 0
Sehingga mn = 1 atau mn = 7
Jika mn = 1, maka m + n = 2. Sehingga m(2 – m) = 1
Didapat m = (2 ± √(4 – 4))/2 = 1. Dan n = 1.
Jika mn = 7, mama m + n = - 4 sehingga m(2 – m) = 7
Didapat m = (2 ± √(4 – 28))/2 = imajiner.
Selanjutnya kita operasikan y² + x = x² + y = 1
Maka didapat (x, y) = { (1,0), (0,1), ( (-1 ± √5)/2,(-1 ± √5)/2 )}
==================================
ALTERNATIF 4 :
Kita punya
(mn + m + n + 1) = 2 (m² + n²)
mn + m + n + 1 = 2m² + 2n²
2m² - m + 2n² - n – mn – 1 = 0
m² - 2mn + n² + m² - 2m + 1 + n² - 2n + 1 = 3 – mn – m – n
(m – n)² + (m – 1)² + (n – 1)² = 3 – 3 = 0
Sehingga kita punya solusi m = n = 1.
Selanjutnya kita operasikan y² + x = x² + y = 1
Maka didapat (x, y) = { (1,0), (0,1), ( (-1 ± √5)/2,(-1 ± √5)/2 )}
==================================
5). Jawaban : 90°
Solusi :
Paling mudah, gambarkan segitiga sama kaki ABC, sehingga ∠BAC = ∠BCA = (180° - 120°)/2 = 30°
Lalu, coba buat garis ΔA₁B₁C₁ dengan catatan ∠BB₁A = BB₁C = 90/2 = 45°
Kita dapatkqn bahwa B₁A₁ adalah garis bagi ∠BB₁C dan B₁C₁ adalah garis bagi ∠AB₁B . Maka kita dapatkan ∠BB₁A₁ = ∠BB₁C₁ = 90°/2 = 45°
Dengan demikian didapat∠A₁B₁C₁ = 2 x 45° = 90°.
==================================
ALTERNATIF 2 :
Kita coba gunakan sifat garis Bagi sudut. Untuk sembarang segitiga tumpul.
Kita punya AB₁/AB = CB₁/BC
Kemudian, kita juga punya BA₁/AB = CA₁/AC
Berdasar ini, kita punya Dalil Stewart, bahwa BB₁ = BC.AB/(AB + BC)
Lalu operasikan BB₁/CB₁ = AB/√((AB+ BC)^2-AB.BC) ini setara dengan perbandingan
BA₁/CA₁ sehingga kita pastikan A₁B₁ adalah garis bagi ∠BB₁C dan B₁C₁ adalah garis bagi ∠BB₁A.
Untuk sembarang sudut BB₁A dan sudut BB₁C, karena ∠BB₁A + ∠BB₁C = 180, maka ∠A₁B₁C₁ = ( ∠BB₁A + ∠BB₁C )/2 = 180°/2 = 90°.
Komentar
Posting Komentar