1) (KMNR 2016 – 7&8) Nilai dari (2³ + 3²)x 3² : 2³ adalah .......
Solusi :
2³ + 3² = (2 x 2 x 2) + (3 x 3) = 8 + 9 = 17
Sehingga didapat : 17 x 9 : 8 = (153)/8 = (152 + 1)/8 = 19 + 1/8 = 19,125
2) (IWYMIC 1999) Among the numbers 1², 2², 3², ..., 1999² , how many of them have odd numbers as their tens-digits?
Solusi :
Maksudnya apa ? adalah bilangan kuadrat yang punya angka puluhan ganjil.
Caranya adalah :
(10 + a)² = 10² + 2.10a + a²
= 100+ 20a + a²
Jelas disini a² harus punya angka puluhan ganjil.
a = {4, 6} mod 10
Sehingga a = 10k + 4 atau 10k + 6
a = {4, 6, 14, 16, 24, 26, 34,...., 1994, 1996}
banyaknya a adalah 2000/10 x 2 = 200 x 2 = 400
3) (IWYMIC 1999) Calculate 1999² -1998² + 1997² - 1996² + ... + 3² - 2² + 1²
Solusi :
(1999² - 1998²) = (1999+1998)(1999-1998) = 3997 x 1
1997² - 1996² = (1997+1996)(1997-1996) = 3993 x 1
......dst
Sehingga 1999² -1998² + 1997² - 1996² + ... + 3² - 2² + 1²
= 3997 + 3993 + 3989 + 3985 + ......... + 9 + 5 + 1
Pola Uâ‚™ = 4n – 3
RUMUS UNIK Sn :
Un = an + b maka Sn = (a/2)n² + (a + 2b)/2n
Karena Un = 4n – 3 maka Sn = (4/2)n² + (4 – 2.3)n/2 = 2n² + (-2n)/2 = 2n² - n
Karena Un = 3997 : 3997 = 4n – 3 ; 4000 = 4n ; n = 1000
Sehingga S₁₀₀₀ = 1000(2.1000 – 1) = 1000 x 1999 = 1999000
4) (IWYMIC 1999) If a, b and c are three consecutive odd numbers in increasing order, find the value a² - 2b² + c²
Solusi :
Anggap a < b < c, maka b = a + 2 dan c = a + 4
Maka
a² - 2b² + c² = a² + (a + 4)² - 2(a + 2)²
= a² + a² + 8a + 16 – 2(a² + 4a + 4)
= 2a² + 8a + 16 – 2a² - 8a – 8
= 16 – 8 = 8.
5) Jika diketahui a + b = 16 dan ab = 48. Maka (a – b)² = ......
Solusi :
Cara 1 :
a² + b² = (a + b)² - 2ab = (a – b)² + 2ab
maka (a + b)² = (a – b)² + 4ab
16² = (a – b)² + 4.48
256 = (a – b)² + 192
256 – 192 = (a – b)²
64 = (a – b)²
Cara 2
a + b = 16
ab = 48
48 = 2 x 24 = 4 x 12 = 6 x 8
Maka jelas a = 4 b = 12 atau sebaliknya
(a – b)² = (± 12 – 4)² = (±8)² = 64
6) Temukan nilai dari 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + ....... + 100².
Solusi :
Un = n²
Sn = (n(n+1)(2n+1))/6
Maka S₁₀₀ = (100(101)(201))/6 = 50x101x67 = 338350
7) Misalkan A̅B̅3̅3̅C̅ adalah bilangan 5 digit yang habis dibagi 11. Berapakah jumlah A + B + C terkecil.
Solusi :
A = 1, B = 1, C = 0,
8) (KSM MI Nas 2017) Sebuah bilangan dikatakan SEIMBANG apabila memenuhi sifat “jika dia ditambah atau dikurangi oleh bilangan yang sama, maka dia akan menghasilkan kuadrat. Temukan banyak bilangan seimbang < 70.
Solusi :
Misalkan bilangan itu = A
A + m = k²
A – m = n²
Sehingga 2m = (k – n)(k + n)
Disini, selisih k dan n harus genap.
Jika n = 1, maka k ={3, 5, 7, 9, 11}
Jika n = 2, maka k = {4, 6, 8, 10}
Jika n = 3, maka k = {5, 7, 9, 11}
Jika n = 4, maka k = {6, 8, 10}
Jika n = 5, maka k = {7, 9, 11}
Jika n = 6, maka k = {8, 10}
Jika n = 7, maka k = {9}
Jika n = 8, maka k tidak ada
Dengan demikian, banyak bilangan SEIMBANG adalah 22
9) (KSM MI Prov 2018) Jika bilangan 2A x 13B habis dibagi oleh 6, maka banyak kemungkinan dari (A + B) adalah ......
Solusi :
2A x 13B = 6k
Jika A = 1, maka B = {2, 4, 6, 0}
Jika A = 2, maka B = {2, 5, 8}
Jika A = 3, maka B = {2, 8}
Jika A = 4, maka B = {0,1,2,3,..,9}
Jika A = 5, maka B = {2,8}
Jika A = 6, maka B = {2, 5, 8}
Jika A = 7, maka B = {2, 4, 6, 8, 0}
Jika A = 8, maka B = {2, 5, 8}
Jika A = 9, maka B = {2, 8}
Jika A = 0, maka B = {2,5,8}
Kemungkinan (A + B) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}
Jadi banyak (A + B) = 17.
CATATAN :
Awassss....!!! Ini bukan mencari pasangan (A,B)
Jika mencari pasangan (A,B), maka n (A,B) = 4 + 3 + 2 + 10 + 2 + 3 + 5 + 3 + 2 + 3 = 38
10) Nilai dari 101³ - 51³ = ......
Solusi :
CARA 1 :
101³ = 101 x 101 x 101 = 1.030.301
51³ = 51 x 51 x 51 = 132.651
101³ - 51³ = 897.650
CARA 2 :
a³ - b³ = (a – b)((a + b)² - ab)
101³ - 51³ = (101 – 51)((101+51)² - 101 × 51)
= 50 (152² - 5151)
= 50 (23104 – 5151)
= 50 x 17953 = 897.650
11) Apakah ada bilangan Kubik (n³) yang memiliki 2 angka terakhir 33 ? Jika ada berapakah nilai bilangan n terkecil ? ......
Solusi :
n³ = ******33 maka jelas n sisa 7 jika dibagi 10 karena 7³ = 343
n³ sisa 33 jika dibagi 100,
misalkan n = 10k + 7 maka n³ = (10k + 7)(10k + 7)(10k + 7)
= (10k)³ + 3.(10k)².7 + 3.(10k).7² + 7³
= 1000k + 2100k + 1470k + 343
Agar 40 + 70k = 100m + 30 maka k = 10a + 7
Sehingga n = 10(10a + 7) + 7 = 100a + 77
Didapat bilangan terkecil n = 77. Karena 77³ = 456533
12) Jika diketahui A³ + B³ = A² + B² + 2AB maka A + B = ...... ?
Solusi :
Sifat :
A³ + B³ = (A + B)(A² + B² - AB)
A² + B² + 2AB = (A + B)(A + B)
Maka A + B = A² + B² - AB
A + B + AB = A² + B² = (A + B)² - 2AB
Maka A + B + 3AB = (A + B)²
Lihatlah :
Jika A = 1, maka 1 + 4B = (1 + B)² didapat B = 2. Jika B > 2, maka (1 + B)² > 1 + 4B. Jika B < 0 maka (1 + B)² > 1 + 4B.
Jika A = 2, maka 2 + 7B = (2 + B)² didapat B = 1,
13) (TIMC – IWYMC 2016) Temukan bilangan asli n terbesar yang < 999 sehingga (n – 1)² habis membagi n²⁰¹⁶ - 1
Solusi :
Perhatikan bahwa n²⁰¹⁶ - 1 = m (n – 1)² ;
(n – 1 + 1)²⁰¹⁶ - 1 = m(n – 1)² anggap n – 1 = a
(a + 1)²⁰¹⁶ - 1 = m(a)²
Jelas 2016a + 1²⁰¹⁶ - 1 habis dibagi (a)² maka 2016a = a².k
Didapat a terbesar = 504 sehingga n = 505.
14) (CIMC – IWYMC 2015) Temukan bilangan asli kuadrat sempurna n lima digit sehingga memiliki 2 angka kembar.
Solusi :
Perhatikan n² ≡ {1, 4, 9, 6, 5} mod 10 didalam kurung adalah angka satuan.
Tidak ada satupun (10k + 5)² = 100k + 55
Jika n = 10k + 1, maka n² = 100k² + 20k + 1 jelas tidak mungkin menghasilkan ***11
Jika n = 10k + 2 maka n² = 100k² + 40k + 4 didapat k = 5m + 1 sehingga n = 10(5m + 1) + 2 = 50m + 12.
Karena 100² = 10.000 dan 315² = 99.225 maka n = {112, 162, 212, 262, 312}
Jika n = 10k + 4, maka n² = 100k² + 80k + 16 jelas tidak mungkin angka puluhan 6.
Jika n = 10k + 6 maka n² = 100k² + 120k + 36 jelas tidak ada puluhan genap
Jika n = 10k + 8, maka n² = 100k² + 160k + 64 didapat k = 5m + 3
Sehingga n = 50m + 38 didapat n = {138, 188, 238, 288}
Komentar
Posting Komentar