1). (OSPO 2018) Temukan angka satuan dari 3²⁰¹⁸ + 5²⁰¹⁸ + 7²⁰¹⁸ + 9²⁰¹⁸.
Solusi :
Perhatikan bahwa sifat a⁴ = 5k + 1
Dan untuk ganjil, maka a⁴ = 10k + 1
Sehingga a²⁰¹⁸ = a²⁰¹⁶⁺² = a⁴ . a² = (10k + 1) a² = 10k + a²
Didapat 3²⁰¹⁸ + 5²⁰¹⁸ + 7²⁰¹⁸ + 9²⁰¹⁸ = 10k + 3² + 5² + 7² + 9² = 10k + 9 + 5 + 9 + 1 = 10k + 4
∴ angka satuannya adalah 4.
2). (OSK SD 2012) Temukan dua digit terqkhir dari 6²⁰¹²
Solusi :
6² = 36
6³ = *16
6⁴ = **96
6⁵ = **76
Perhatikan angka puluhan, maka polanya adalah
7x6 + 3 = **5
5x6 + 3 = **3
3x6 + 3 = **1
Maka 6² ≡ 6⁷ ≡ 6¹² ; 6³ ≡ 6⁸ ≡ 6¹³ ; 6⁴ ≡ 6⁹ ≡ 6¹⁴
Sehingga 6²⁰¹² ≡ 6¹² ≡ 6² = ****36
3). (PEMNAS 2016) Diketahui bilangan asli p + e + m + n + a + s =33. Maka digit terakhir dari 2004^(2005^(2006^(2007^(〖2008^(….)〗^(10000^((….)^(p.e.m.n.a.s) ) ) ) ) ) )adalah....
Solusi :
Perhatikan pola 2004ⁿ, karena diminta angka terakhir : maka kita ambil 4ⁿ.
Sehingga didapat : 4² = 16, 4³ = 64, 4⁴ = **6, 4⁵ = ***4
Jika pangkat ganjil, maka satuan 4, jika pangkat genap, maka satuan 6.
Perhatikan angka pangkat :
2005ᵏ pasti ganjil, sehingga 2004²⁰⁰⁵ ≡ ****4.
4). Temukan dua angka terakhir dari 4047²⁰²¹.
Solusi :
Gunakan sifat :
A²⁰ ≡ ****01
Maka 4047²⁰²¹ ≡ 100k + 47²⁰²¹ ≡ 47²⁰ᵏ x 47 = 01 x 47 = **47
∴ Dua angka terakhir dari 4047²⁰²¹ adalah 47.
5). Temukan dua angka terakhir dari 5056⁵⁰⁵⁶.
Solusi :
Gunakan sifat :
A²⁰ᵏ ≡ **76 untuk A genap.
Maka A⁵⁰⁵⁶ = A²⁰ˣ²⁵² x A¹⁶.
Kita operasikan saja : 5056⁵⁰⁵⁶ ≡ 76 x 56¹⁶ = 76 x (96)⁴ = 76 x 56 = **76.
6). Temukan sisa pembagian 2023²⁰²³ oleh 1000.
Solusi :
Gunakan sifat : 23²⁰ ≡ **01
Tapi, jika kita mencari 23²⁰, maka kita dapatkan angka belakangnya 0201 atau 5201.
Sehingga 23⁴⁰ ≡ 201² = **0401
23⁸⁰ ≡ 401² ≡ ***0801 ; 23¹⁶⁰ ≡ 801² ≡ **1601 mengikuti pola 2ⁿ x 10.
Sehingga 23^2023≡23^(40×50) x 23^23≡(401)^50 x 23^20 x 23^3
≡(401)^16x3 x 401^2 x 201 x12167 =(401)^3 x 801 x 201 x 2167= 201 x 001 x
2167 = ***5567
∴ 3 angka terakhir dari 2023²⁰²³ = 567.
7). Temukan dua angka terakhir tak nol dari 22³⁰¹ x 55³⁰³
Solusi :
22³⁰¹ x 55³⁰³ = 2³⁰¹ x 11³⁰¹ x 5³⁰¹ x 11³⁰³ x 5²
= (2 x 5)³⁰¹ x 11⁶⁰⁴ x 25
= 10³⁰¹ x 11⁶⁰⁰ x 11⁴ x 25
= 10³⁰¹ x (11¹⁰)⁶⁰ x 14641 x 25
= 10³⁰¹ x (01)⁶⁰ x 641 x 25
≡ 10³⁰¹ x (16000 + 25) = 10³⁰¹ x 16025
Jadi, 2 angka terakhir tak nol dari 22³⁰¹ x 55³⁰³ adalah 25
8). Temukan sisa pembagian 2021²³ oleh 23.
Solusi :
Gunakan sifat Aᵖ ≡ A mod p ; yaitu Aᵖ akan sisa A jika dibagi p dengan syarat p adalah prima.
Karena 23 prima, maka 2021²³ ≡ 2021 mod 23.
Sehingga 2021²³ ≡ 20 mod 23.
9) Temukan 3 angka terakhir dari 55¹⁰¹.
Solusi :
Gunakan sifat 5⁴ˣᵏ ≡ 10⁴m + 625 dan 11¹⁰ ≡ 01 mod 100
Sehingga 55¹⁰¹ = 11¹⁰¹ x 5¹⁰¹ = (11¹⁰)¹⁰ x 11 x (5⁴)²⁰ x 5
= (01)¹⁰ x 11 x ((625)⁴)⁵ x 5 = 11 x (625)⁵ x 5 = 11 x (625)⁴ x 625 x 5
= 11 x 625 x 3125 = 11 x 125 = ***375
10). Temukan 4 angka terakhir dari 7²⁰²¹.
Solusi :
Gunakan sifat 7¹⁰⁰ˣᵏ = ****0001
Maka 7²⁰²¹ = 7²¹ x 7¹⁰⁰ˣᵏ = 7²¹ x 0001 = 7²¹
Untuk memudahkan :
2401⁴ˣⁿ = 10⁴k + (24 x n x 100) + 01
Maka 7²¹ = 2401⁵ x 7 = 10⁴k + 12000 + 01 = 10⁴k + 01
Sehingga didapat 7²¹ ≡ 0001 mod 10⁴.
Komentar
Posting Komentar