Tingkat Kabupaten
2002 .
Bilangan bulat n terbesar sehingga 88ⁿ membagi 44⁴⁴ adalah...
SOLUSI :
Cara 1.
44⁴⁴ = (4 × 11)⁴⁴ = (2² × 11)⁴⁴ 88ⁿ = (8 × 11)ⁿ
= (2²)⁴⁴ × 11⁴⁴ = (2³)ⁿ × 11ⁿ
= 2⁸⁸ × 11⁴⁴ dari bentuk ini, 88ⁿ akan membagi 44⁴⁴
Maka 3n ≤ 88
88 = 87 + 1 = 3 × 29 + 1
3n = 87
Maka n = 29
CARA 2 :
Misalkan Maka akan didapat h ≤ ⎣ ᵏ/ₘ × g ⎦
A = (P₁ ᵏ × P₂ⁿ)ᵍ Sehingga 44⁴⁴ dibagi dengan oleh 88ⁿ dengan n ≤ ⎣ ²/₃ × 44 ⎦ = 29
B = (P₁ᵐ × P₂ᵃ)ʰ
Berapa banyak pasang bilangan bulat positif (a,b) yang memenuhi 1/a+1/b=1/6 ??
SOLUSI :
Bentuk 1/a+1/b=1/6 dapat diubah menjadi (a+ b)/ab=1/6
Dari bentuk itu... a dan b keduanya > 6.
ab/6 = a + b
6 = 2 × 3
Maka ab = 2 × 3 × p
Untuk a = p kp – 3p = 2k k = 6 maka p = 4
Maka b = 6 k p (k – 3) = 2k k = 9 p = 3
Maka ab / 6 = k. p = p + 6k k = 4 maka p = 8 k = 5 maka p = 5
K (p – 1) = 6k • jadi pasangan ada { (7,42); (9,18); (8,24); (10,15);
P = 6 + 1 = 7. (12,12)} dan sebaliknya. Total ada 9 pasangan.
Untuk a = 2k
Maka b = 3p
ab / 6 = k . p = 2k + 3p
Digit 1, 9, 9, 8 dalam 1998 mempunyai jumlah total 1 + 9 + 9 + 8 = 27. Bilangan berikutnya yang mempunyai jumlah digit 27 terjadi pada tahun ?
SOLUSI :
Angka terdekat dengan 1998 maka didapat tahun berikutnya adalah 2799.
Maka 2abc karena 2 + 7 + 9 + 9 = 27
Dengan a dan c minimum...
b = 9
a = 7 c = 9
Berapakah jumlah digit-digit bilangan 2²⁰⁰² × 5²⁰⁰³ ??
SOLUSI :
Perhatikan :
10¹ = 10 pangkat 1 digit 2 sehingga 2²⁰⁰² × 5²⁰⁰³ = (2 × 5)²⁰⁰² × 5
10² = 100 pangkat 2 digit 3 = 10²⁰⁰² × 5
10³ = 1000 pangkat 3 digit 4 = 5 × 10²⁰⁰² ( 2003 digit)
Berapa banyak bilangan positif yang kurang dari 10.000 yang berbentuk x⁸ + y⁸ untuk suatu bilangan bulat x > 0 dan y > 0 ?
SOLUSI :
10.000 = 10⁴ maka pasangan x dan y adalah {(1,2) ; (1,3) ; (2,3) }
Perhatikan Akan tetapi jika yang dimaksud x = y termasuk himpunan maka
2⁸ = 256 didapat { (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (2,2) ; (2,3)}
3⁸ = 6561
4⁸ = 65.***
Misalkan a dan b bilangan real yang berbeda sehingga a/b+(a+10b)/(b+10a)=2 maka nilai dari a/b adalah...
SOLUSI :
CARA 1 :
Operasikan a/b×((b+10a))/(b+10a)+b(a+10b)/b(b+10a) =(ab+10a²+ ab+10b²)/(b^2+10ab)
2 = (10a^2+10b^2+2ab)/(b^2+10ab)
2b² + 20ab = 10a² + 10b² + 2ab
10a² + 8b² - 18ab = 0
9a² + 9b² - 18ab + a² - b² = 0
9 (a – b)² + (a + b)(a – b) = 0
(a – b)(9(a – b) + a + b) = 0
(a – b) (10a – 8b) = 0
Agar menjadi 0 maka
a – b = 0 \/ 10a – 8b = 0
a = b 10a = 8b
a/b = 1 a/b = 8/10 = 4/5
CARA 2 :
Kita ubah bentuk a/b+(a+ 10b)/(b+10a) =a/b+(a/b+10)/(1+10 a/b)
Misalkan a/b = x
Maka a/b+(a/b+10)/(1+10 a/b) = x+(x+10)/(1+ 10x)
x + 10x² + x + 10 = 2 + 20x
10x² - 18x + 8 = 0
5x² - 9x + 4 = 0
x₁ = (9+√(9^2- 4×5× 4))/(2×5) =(9+ 1)/10 = 1
x₂ = (9-√(9^2- 4×5× 4))/(2×5)=8/10=4/5
Bilangan bulat positif p ≥ 2 disebut bilangan prima jika ia hanya mempunyai faktor 1 dan p. Tentukan nilai penjumlahan semua bilangan prima diantara 1 dan 100 yang sekaligus bersifat : satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6.
SOLUSI :
Misalkan p adalah bilangan yang dimaksud
p = 5k + 1 6b + 4b = 6a – 2 didapat bilangan itu
p = 6a – 1 4b + 2 = 6 (a – b) adalah 11, 41, 71
jelas bahwa k = 2b 4b + 2 = kelipatan 6 jml = 123
sehingga p = 10b + 1 b = 1 maka a = 2
b = 4 maka a = 7
Perhatikan bahwa b = 7 maka a = 12
10b + 1 = 6a – 1 karena p < 100 maka b < 10
Misalkan ada bilangan bulat a dan b dimana diketahui a = 1^2/1+2^2/3+3^2/5+4^2/7+⋯+1001^2/2001 dan b 1/3+2^2/5+3^2/7+4^2/9 +⋯+1001^2/2003 maka tentukan bilangan paling dekat dengan a – b.
SOLUSI :
Perhatikan bilangan penyebut dari barisan
Maka kita dapat menulis a – b = 1^2/1+(2^2-1)/3+(3^2-2^2)/5+(4^2-3^2)/7+⋯(1001^2-1000^2)/2001- 1001^2/2003
a – b = 1 + 1 + 1 + 1 + .... + 1 – 1001^2/2003 =1001-1001^2/2003=(1001×2003-1001^2)/2003
¹⁰⁰¹ ᵏᵃˡⁱ
= 1001(2003-1001)/2003 =1001(1002)/2003= (2002×501)/2003=501-501/2003=501-0,25012…
Sehingga jelas bahwa bilangan terdekat adalah 501
2002 .
Bilangan bulat n terbesar sehingga 88ⁿ membagi 44⁴⁴ adalah...
SOLUSI :
Cara 1.
44⁴⁴ = (4 × 11)⁴⁴ = (2² × 11)⁴⁴ 88ⁿ = (8 × 11)ⁿ
= (2²)⁴⁴ × 11⁴⁴ = (2³)ⁿ × 11ⁿ
= 2⁸⁸ × 11⁴⁴ dari bentuk ini, 88ⁿ akan membagi 44⁴⁴
Maka 3n ≤ 88
88 = 87 + 1 = 3 × 29 + 1
3n = 87
Maka n = 29
CARA 2 :
Misalkan Maka akan didapat h ≤ ⎣ ᵏ/ₘ × g ⎦
A = (P₁ ᵏ × P₂ⁿ)ᵍ Sehingga 44⁴⁴ dibagi dengan oleh 88ⁿ dengan n ≤ ⎣ ²/₃ × 44 ⎦ = 29
B = (P₁ᵐ × P₂ᵃ)ʰ
Berapa banyak pasang bilangan bulat positif (a,b) yang memenuhi 1/a+1/b=1/6 ??
SOLUSI :
Bentuk 1/a+1/b=1/6 dapat diubah menjadi (a+ b)/ab=1/6
Dari bentuk itu... a dan b keduanya > 6.
ab/6 = a + b
6 = 2 × 3
Maka ab = 2 × 3 × p
Untuk a = p kp – 3p = 2k k = 6 maka p = 4
Maka b = 6 k p (k – 3) = 2k k = 9 p = 3
Maka ab / 6 = k. p = p + 6k k = 4 maka p = 8 k = 5 maka p = 5
K (p – 1) = 6k • jadi pasangan ada { (7,42); (9,18); (8,24); (10,15);
P = 6 + 1 = 7. (12,12)} dan sebaliknya. Total ada 9 pasangan.
Untuk a = 2k
Maka b = 3p
ab / 6 = k . p = 2k + 3p
Digit 1, 9, 9, 8 dalam 1998 mempunyai jumlah total 1 + 9 + 9 + 8 = 27. Bilangan berikutnya yang mempunyai jumlah digit 27 terjadi pada tahun ?
SOLUSI :
Angka terdekat dengan 1998 maka didapat tahun berikutnya adalah 2799.
Maka 2abc karena 2 + 7 + 9 + 9 = 27
Dengan a dan c minimum...
b = 9
a = 7 c = 9
Berapakah jumlah digit-digit bilangan 2²⁰⁰² × 5²⁰⁰³ ??
SOLUSI :
Perhatikan :
10¹ = 10 pangkat 1 digit 2 sehingga 2²⁰⁰² × 5²⁰⁰³ = (2 × 5)²⁰⁰² × 5
10² = 100 pangkat 2 digit 3 = 10²⁰⁰² × 5
10³ = 1000 pangkat 3 digit 4 = 5 × 10²⁰⁰² ( 2003 digit)
Berapa banyak bilangan positif yang kurang dari 10.000 yang berbentuk x⁸ + y⁸ untuk suatu bilangan bulat x > 0 dan y > 0 ?
SOLUSI :
10.000 = 10⁴ maka pasangan x dan y adalah {(1,2) ; (1,3) ; (2,3) }
Perhatikan Akan tetapi jika yang dimaksud x = y termasuk himpunan maka
2⁸ = 256 didapat { (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (2,2) ; (2,3)}
3⁸ = 6561
4⁸ = 65.***
Misalkan a dan b bilangan real yang berbeda sehingga a/b+(a+10b)/(b+10a)=2 maka nilai dari a/b adalah...
SOLUSI :
CARA 1 :
Operasikan a/b×((b+10a))/(b+10a)+b(a+10b)/b(b+10a) =(ab+10a²+ ab+10b²)/(b^2+10ab)
2 = (10a^2+10b^2+2ab)/(b^2+10ab)
2b² + 20ab = 10a² + 10b² + 2ab
10a² + 8b² - 18ab = 0
9a² + 9b² - 18ab + a² - b² = 0
9 (a – b)² + (a + b)(a – b) = 0
(a – b)(9(a – b) + a + b) = 0
(a – b) (10a – 8b) = 0
Agar menjadi 0 maka
a – b = 0 \/ 10a – 8b = 0
a = b 10a = 8b
a/b = 1 a/b = 8/10 = 4/5
CARA 2 :
Kita ubah bentuk a/b+(a+ 10b)/(b+10a) =a/b+(a/b+10)/(1+10 a/b)
Misalkan a/b = x
Maka a/b+(a/b+10)/(1+10 a/b) = x+(x+10)/(1+ 10x)
x + 10x² + x + 10 = 2 + 20x
10x² - 18x + 8 = 0
5x² - 9x + 4 = 0
x₁ = (9+√(9^2- 4×5× 4))/(2×5) =(9+ 1)/10 = 1
x₂ = (9-√(9^2- 4×5× 4))/(2×5)=8/10=4/5
Bilangan bulat positif p ≥ 2 disebut bilangan prima jika ia hanya mempunyai faktor 1 dan p. Tentukan nilai penjumlahan semua bilangan prima diantara 1 dan 100 yang sekaligus bersifat : satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6.
SOLUSI :
Misalkan p adalah bilangan yang dimaksud
p = 5k + 1 6b + 4b = 6a – 2 didapat bilangan itu
p = 6a – 1 4b + 2 = 6 (a – b) adalah 11, 41, 71
jelas bahwa k = 2b 4b + 2 = kelipatan 6 jml = 123
sehingga p = 10b + 1 b = 1 maka a = 2
b = 4 maka a = 7
Perhatikan bahwa b = 7 maka a = 12
10b + 1 = 6a – 1 karena p < 100 maka b < 10
Misalkan ada bilangan bulat a dan b dimana diketahui a = 1^2/1+2^2/3+3^2/5+4^2/7+⋯+1001^2/2001 dan b 1/3+2^2/5+3^2/7+4^2/9 +⋯+1001^2/2003 maka tentukan bilangan paling dekat dengan a – b.
SOLUSI :
Perhatikan bilangan penyebut dari barisan
Maka kita dapat menulis a – b = 1^2/1+(2^2-1)/3+(3^2-2^2)/5+(4^2-3^2)/7+⋯(1001^2-1000^2)/2001- 1001^2/2003
a – b = 1 + 1 + 1 + 1 + .... + 1 – 1001^2/2003 =1001-1001^2/2003=(1001×2003-1001^2)/2003
¹⁰⁰¹ ᵏᵃˡⁱ
= 1001(2003-1001)/2003 =1001(1002)/2003= (2002×501)/2003=501-501/2003=501-0,25012…
Sehingga jelas bahwa bilangan terdekat adalah 501
Komentar
Posting Komentar