🍃🌏❖━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
             💥 *HOTS PROBLEM SOLVING* 🎗
 ┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━❖🌏🍃
BAB     : Bilangan
Fokus : Deret Bilangan, fungsi phi Euler.
Level   : Medium

📔 Problem :
Misalkan ada suatu fungsi f∶ N →N, dengan f(n)  = 3n (n – 1) + 1. Lalu ada fungsi g(n) =  f(1)+ f(2)+ f(3)+⋯ + f(n). Jika misalkan h(n) = g(1) + g(2) + g(3) + … + g(n). Maka  banyaknya bilangan yang <  h(2020) dan relatif prima dengan h(2020) adalah k. Carilah bianyaknya bilangan Prima yang bisa membagi k.

GEniUs MaTh                                                .
                    Minggu, 26/04/2020
📝 SOLUSI :                          
    Fungsi Phi Euler                                                                         Penyelesaian :        
     Untuk setiap bilangan p = Prima                                                    f(n)=3n(n-1)+1  =3n^2-3n+1
     Maka berlaku :                                                                                       maka  g(n) = n³
φ(p)  = p - 1                                                                                Untuk g(n) = n³  maka h(n) = (n(n+1)/2)^2
φ(p₁ p₂ ....pₙ)  = (p₁-1)(p₂-1).....(pₙ-1)                                Sehingga didapat
φ(pⁿ)     = pⁿ⁻¹ (p – 1)                                                               h(2020) = (2020(1+2020)/2)^2
     Deret Aritmetika                                                                                                    = (1010×2021)²
     Perhatikan segitiga pascall :                                                                               = (2 × 5 × 43 × 47 × 101)²
                     
                                        Φ[h(n)]  = φ(2² × 5² × 43² × 47² × 101²)
                                                       = 2 × 5 × 4 × 43 × 42 × 46 × 47 × 100 × 101
                                                       =  2⁶ × 3 × 5³ × 7 × 23 × 43 × 47 × 101





Anggap hasil penjumlahan n suku pertama = Sₙ
Sₙ   = n             maka Uₙ = 1
Sₙ   = n²           maka Uₙ = 2n - 1
Sₙ   = n³           maka Uₙ = 3n² - 3n + 1
Sₙ   = n⁴           maka Uₙ = 4n³ - 6n² + 4n - 1
Dan seterusnya….!


🍃🌏❖━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
             💥 *HOTS PROBLEM SOLVING* 🎗
 ┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━❖🌏🍃
BAB     : Peluanh
Fokus : Kelipatan bilangan, Persentase, Kombinasi.
Level   : Amateur

📔 Problem :
Sebuah hari dibulan Ramadhan dikatakan “Indah” jika ada salah satu harinya bertepatan dengan hari selasa Wage. Jika Ramadhan tahun 2020, dimulai pada hari Jumat, dan banyak hari di bulan ramadhan tahun itu 30 hari. Carilah peluang bahwa ada 1 hari “Indah” itu ada di bulan Ramadhan tahun 2020 ?

GEniUs MaTh
Selasa, 28/04/2020
📝 SOLUSI :                          
    Catatan  :                                                       Banyak kejadian yang mungkin =  ₅C₄   =  5
     1 = jumat    ->  5  = selasa                     Bisa kita lihat pada tabel berikut :
Selasa 1 Selasa 2 Selasa 3 Selasa 4 Selasa 5
     Pon  Kliwon Pahing Wage Legi
Wage Legi Pon Kliwon Pahing
Kliwon Pahing Wage Legi Pon
Legi Pon Kliwon Pahing Wage
Pahing Wage Legi Pon Kliwon

     Selasa = {5, 12, 19, 26}                            
         
     Hari Pasaran Selasa                        
     Selasa  = { Pon, Wage, Kliwon, Legi                
                          Pahing}                                          
                                                             

Dari tabel tersebut dapat kita lihat distribusi Wage ada 4 dari 5 kemungkinan.
Sehingga peluang Hari Indah itu = 4/5   = 80%



❦❖==================❖❦
_"Jika kamu tidak menyadari betapa mudahnya Matematika, itu karna kamu tidak memahami bahwa hidup ini jauh lebih rumit darinya."_

John Von Neumman (Hungarian Matematican)*
•┈•◎❅❀❦❖🍀💠🍀❖❦❀❅◎•┈•


🍃🌏❖━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
             💥 *HOTS PROBLEM SOLVING* 🎗
 ┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━❖🌏🍃
BAB        : Aljabar – Bilangan
Fokus    : Analisis Real, fungsi Kuadrat, Group Teori.
Level      : Medium.

📔 Problem :
Misalkan ada bilangan Real x dimana x +  1/x  =2020.  dan f(x)=  x^2+ ax+1  menghasilkan bilangan x.k  dimana k < a dan k nilainya positif, dengan a ∈ ℕ. Misalkan ada bilangan asli n sehingga f(n) = 2020. Tunjukkan bahwa  ∃! : f(n)  dengan n ∈ ℕ > 1.

GEniUs MaTh
Rabu, 29/04/2020
📝 SOLUSI :                          
    Catatan  :                                                                              
     Teorema Vieta :                                        Perhatikan bentuk x+1/x=2020
     Misalkan ada fungsi kuadrat .               Kita ubah menjadi  (x^2+1)/x=2020
     f(x)  = ax²  +  bx  + c                               Ubah menjadi x² + 1  = 2020x                  
     Maka berlaku                                             akhirnya menjadi x² - 2020 x + 1  = 0
     X₁  + X₂  = - b/a                                        X₁ + X₂  = 2020      (jelas  bahwa kedua akar positif)
     X₁ ×  X₂   = c/a                                          X₁  × X₂ = 1

f(x) = x . k
x k   = x² + ax + b                                 Kita diminta n = asli  maka n harus membagi 2019
0       = x² + (a – k)x + 1                      2019   = 3 × 673   = 1 × 2019                      

Kita diajak untuk f(n) =  2020         Karena kita diminta n > 1. Maka jelas hanya n = 3 yang memenuhi.
 n² + (a – k)n + 1  = 2020                  ∴ benar bahwa hanya tepat ada 1 angka n asli yang memenuhi.
n (n + a – k)            = 2019
karena a > k  maka jelas n + a – k > n

❦❖==================❖❦
_"Jika kamu tidak menyadari betapa mudahnya Matematika, itu karna kamu tidak memahami bahwa hidup ini jauh lebih rumit darinya."_

John Von Neumman (Hungarian Matematican)*
•┈•◎❅❀❦❖🍀💠🍀❖❦❀❅◎•┈•