BARISAN EKSPONEN

🔖 *HOTS PROBLEM SOLVING* ✨
   ```Kamis, 24/10/2019```
°°°°°°°°°°♾♾🔆♾♾°°°°°°°°°


*BAB     :* Aritmetika ~ Bilangan
*Tema   :* Barisan Eksponen
*Level   :* Profesional


📖 *PROBLEM*
1.  Ada barisan bilangan dimana a₂ₙ = n . aₙ dengan a₁ = 1. Dua digit terakhir dari a (₂²⁰²⁰)  adalah *X*. Berapakah sisa dari X jika dibagi dengan 11.....???


(Problem by : *Wardaya College*)
_Dengan sedikit tambahan._



📝 *SOLUSI :*
a₂ₙ  = n . aₙ
a₂   = 1 . 1
       = 1
a₄   = 2 . 1
       = 2
a₈   = 4. 2
       = 8   = 2³
a₁₆  = 8 . 8
       = 64    = 2⁶
a₃₂  = 16 . 64
       = 2¹⁰
a₆₄  = 2¹⁵
a₁₂₈ = 2²¹

sehingga didapat
aₙ  = 2ᵇ

untuk
n = 2ᵖ
b = 1 + 2 + 3 + ... + (p - 1)

sehingga untuk
n = 2²⁰²⁰
b = 1 + 2 + 3 + ... + (2020 - 1)
   = 1 + 2 + 3 + ... + 2019
   = 2019 × 1010
   = 2 × 3 × 5 × 101 × 673
   = 2 ( 1515 × 673)
   = 2 ( (1514 + 1)(672 + 1))
   = 2 ( 1514×672 + 1514 + 672 + 1²)
   = 2 ( 2 (1514×336 + 1093) + 1)
   = 4 (1514 × 336 + 1093) + 2
   = 4 ( 5 (101.740) + 4 + 1093) + 2
   = 20(101.740) + 4 (1097) + 2
   = 20(101.740) + 4 ( 5 (219) + 2) + 2
   = 20(101.740) + 20(219) + 8 + 2
   = 20 ( 101.959) + 10

👉 *Dua digit terakhir dari 2ᵏ*

02    04   08   16
32    64   28   56
12    24   48   96
92    84   68   36
72    44   88   76

52    04   08   16
32    64   28   56

Pola 2ᵏ berulang ketika mencapai
k > 20

sehingga
a (₂²⁰²⁰) = 2²⁰ ˣ ¹⁰¹⁹⁵⁹ ⁺ ¹⁰

Dua digit terakhir
2²⁰ ˣ ¹⁰¹⁹⁵⁹ ⁺ ¹⁰ ≡ 2¹⁰
          = 24


Maka kita dapatkan X = 24

Sehingga X = 11k + 2




======================
_"jika anda tidak menyadari betapa Mudahnya Matematika, maka anda tidak menyadari bahwa Hidup ini lebih rumit dari Matematika"_

*~ John Von Neumman ~*

~~~~~~~~~~~~~~~~~
_📡Presented by :_
🏆✨ *GEniUs MaTh* ✨📝
Media Belajar Matematika Berbasis WA Grup